1、第 1 页 共 26 页导数压轴题题型1. 高考命题回顾例 1 已知函数 f(x)e xln(xm)（2013 全国新课标卷）(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.(1)解 f(x) e xln(xm)f(x)e x f(0)e 0 0m1，1x m 10 m定义域为x| x1，f(x )e x ，1x m exx 1 1x 1显然 f(x)在(1,0上单调递减，在0，) 上单调递增(2)证明 g(x) e xln(x 2)，则 g(x)e x (x2) 1x 2h(x)g(x)e x (x2) h(x)e x 0，1x
2、2 1x 22所以 h(x)是增函数，h(x )0 至多只有一个实数根，又 g( ) 0，12 1e 132 12所以 h(x)g(x )0 的唯一实根在区间 内，( 12，0)设 g(x)0 的根为 t，则有 g(t)e t 0 ，1t 2 ( 12g(t)0，g( x)单调递增；所以 g(x)ming(t)e tln(t 2) t 0，1t 2 1 t2t 2当 m2时，有 ln(xm)ln( x2)，所以 f(x)e xln(xm)e xln(x 2) g(x)g(x) min0.例 2 已知函数 满足 （2012 全国新课标）210)(fef(1)求 的解析式及单调区间；)(f(2)若
3、 ，求 的最大值。baxx21)(（1） 21()0)()(0)xfefffef 第 2 页 共 26 页令 得：1x(0)f121() (0)()xfefefe 得： xgx在 上单调递增()0()xgyR(),0()0ffff得： 的解析式为 21xe且单调递增区间为 ，单调递减区间为(0,)(,)（2） 得21() 0xfxaxbhab(1)xhea当 时， 在 上单调递增()()yxR时， 与 矛盾当 时，100ln1,()ln()xx 得：当 时，ln()xami()l1)0haab22()1l0b令 ；则lF()2lFx0,ee 当 时，xemax()2当 时， 的最大值为1,ab
4、1b2例 3 已知函数 ln()fxx，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为20xy。（2011 全国新课标）（）求 a、 b的值；（）如果当 x，且 1时， ln()1kfx，求 的取值范围。解（） 22(ln)xbf由于直线 230y的斜率为 12，且过点 (1,，故1,()f即,1,a解得 1a， b。（）由（）知 lnfx，所以第 3 页 共 26 页22ln1(1)()lnxkkxf x。考虑函数 2lh(0)，则2()1 xh。(i)设 0k，由21)()kx知，当 1时， 0x，h(x) 递减。而(1)h故当 ,时， (0h，可得 2()h；当 x （1，+ ）时，h（
5、x） 0从而当 x0,且 x1 时，f（x ）- （ ln+ k）0，即 f（ x） 1ln+xk.（ii）设 00,故 h (x）0,而 h（1）=0，故当 x （1， k）时，h（x）0，可得21xh（x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）0，可得 21 h（x）0时 1(xkf恒成立，求正整数k的最大值 .例 14（创新题型）设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).()若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值；()当 a=1 时,设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且 PQ/x 轴,
6、求 P、Q 两点间的最短距离；第 8 页 共 26 页()若 x0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x) 的图象上方,求实数 a 的取值范围例 15(图像分析，综合应用) 已知函数 )1,0(12)( baxxg，在区间3,2上有最大值 4，最小值 1，设f（）求 ba,的值；（）不等式 02)(xxkf在 ,上恒成立，求实数 k的范围；（）方程)3|1|(| x有三个不同的实数解，求实数 的范围导数与数列例16（创新型问题）设函数2()(xfabe， aR、 ， xa是 ()f的一个极大值点若 0a，求 b的取值范围；当 是给定的实常数，设 123x， ， 是 ()f的3个极值点，
7、问是否存在实数 b，可找到 4xR，使得 1234， ， ， 的某种排列 1234,iix（其中 1234ii， ， ， =123， ， ，）依次成等差数列?若存在，求所有的 b及相应的 x；若不存在，说明理由导数与曲线新题型例 17（形数转换）已知函数 ()lnfx, 21()gxa(0).(1)若 2a, 函数 h 在其定义域是增函数 ,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数 2x=e+b, ,ln求 函 数 (x的最小值;(3)设函数 )(xf的图象 C1 与函数 )(的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作轴的垂线分别交 C1、C 2 于点 M、 N,问是
8、否存在点 R,使 C1 在 M处的切线与C2 在 N处的切线平行? 若存在,求出 R 的横坐标;若不存在 ,请说明理由.例 18（全综合应用）已知函数 ()ln(0)xfx.(1)是否存在点 (,ab,使得函数 )yf的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点Q 也在函数 yf的图像上 ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由;(2)定义2121)()niSffnn,其中 *N,求 2013S;(3)在(2)的条件下,令 na,若不等式 am对 且 n恒成立,求实数 m的取值范围.导数与三角函数综合例 19（换元替代，消除三角）设函数2()fx（ xR），其中 a（）当 1a时，求
9、曲线 y在点 (f， 处的切线方程；（）当 0时，求函数 的极大值和极小值；第 9 页 共 26 页（）当 3a， 10k， 时，若不等式2(cos)(cos)fkxfkx对任意的xR恒成立,求 的值。创新问题积累例 20 已知函数 .2()ln4xfI、求 的极值. II、求证 的图象是中心对称图形.fIII、设 的定义域为 ,是否存在 .当 时， 的取值范围()xD,abD,xab()fx是 ?若存在,求实数 、 的值；若不存在，说明理由4ab导数压轴题题型归纳 参考答案例 1 解：(1) 1a时， xg3)(，由 013)(2xg，解得 3x.)(x的变化情况如下表：0 ),( ),(1
10、)(g- 0 +x0 极小值 0所以当 3时， )(xg有最小值 932)(g.(2)证明：曲线 fy在点 ,1axP处的切线斜率 12)(xfk曲线 )(在点 P 处的切线方程为 (21axy.令 0y，得 12x， 112 x ax1，0，即 12x.又 12，axax112 2所以 ax.例2()ln(0)fx， 22l( (0)fxaxx 第 10 页 共 26 页令2()1(0)hxax当 0时， )，当 (0,1),()0xhfx,函数 ()fx单调递减；当 ,hf，函数 f单调递增.当 a时，由 ()0fx，即 2a，解得 12,1a.当12时 2， h恒成立，此时 ()0fx，
11、函数 ()fx单调递减；当0时，1a, (01)x时 ,hf，函数 f单调递减；1(,)x时， ()hf，函数 ()x单调递增；a时， 0,()x，函数 f单调递减.当 0时1，当 ,10,()hx,函数 ()fx单调递减；当 (,),()xhf，函数 f单调递增.综上所述：当 a时，函数 在 ,单调递减， 1单调递增；当12时 2x, ()0恒成立,此时 ()0fx，函数 ()fx在 0,)单调递减；当0时,函数 f在 1递减,a递增,递减.当14a时， ()x在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意 1(0,2)x，有 1()2fxf，又已知存在 ,，使 12()fxg，所以 21()gx， ,，（）又22()4,gxb当 1时， min(50b与（）矛盾；当 ,时，2i()x也与（）矛盾；当 2b时， in17()84,8g.综上，实数 的取值范围是7,).例 3 解： 23fxabx
