1、1导数专题目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）二、交点与根的分布 （23）三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的 综合 运用 （70）六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论 ，变形即为sin1x，其几何意义为 sin,(0)yx上的的点与原sin,(0)x点连线斜率小于1. 1e l() n,0x.一、导数单调性、极值、最值的直接应用21. （切线）设函数
2、axf2)(.（1）当 a时，求函数 )(fg在区间 1,0上的最小值；（2）当 0时，曲线 y在点 )(axfP处的切线为 l， 与 x轴交于点),(xA求证： ax21.解：(1) a时， g3)(，由 013)(2xg，解得 3x.)(x的变化情况如下表：0 ),( )1,(1)(g- 0 +x0 极小值 0所以当 3时， )(g有最小值 932)(g.(2)证明：曲线 xfy在点 ,1axP处的切线斜率 12)(xfk曲线 )(在点P处的切线方程为 (21axy.令 0y，得 12x， 12 x ax1，0，即 12x.又 12，axax112 2所以 x.2. （2009天津理20，
3、极值比较讨论）已知函数22()3)(),xfaeR其中 a当 0a时，求曲线 (1,yff在 点 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 3时，求函数 )x的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 .3)1()2()(02 efexfefax ， 故，时 ，当 .1,y处 的 切 线 的 斜 率 为在 点所 以 曲 线 .4)(2 xaxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m .23 a知 ，由， 或， 解 得令以下分两种情况讨论：3 a若 32，则 a 2.当 x变化时，
4、 )(xf， 的变化情况如下表：x， a2， a，2+ 0 0 + 极大值 极小值 .)()()() 内 是 减 函 数，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 f .3)2(2 2aeffax ， 且处 取 得 极 大 值在函 数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .42af ， 且处 取 得 极 小 值在函 数 a若 3，则 ，当 x变化时， )(xf， 的变化情况如下表：x2， a2， ，a+ 0 0 + 极大值 极小值 内 是 减 函 数 。，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 )()()()af .34( 2 aeffx， 且处 取 得 极 大 值在函 数w.w.w.k.s.5.
5、u.c.o.m .)22 2af ， 且处 取 得 极 小 值在函 数3. 已知函数21(),()3ln.faxgxb设两曲线 yx与 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 0a，试建立 b 关于 a的函数关系式，并求 b的最大值；若 0,2()()2)bhfxx在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。44. （最值，按区间端点讨论）已知函数f( x)=lnxa.(1)当a0时，判断f( x)在定义域上的单调性；(2)若f(x )在1,e上的最小值为 ，求a的值.32解：(1)由题得f (x)的定义域为(0 ,)，且 f (x) 2xa.1a0，f ( x)0，故f(x) 在(0 ,)上是单
6、调递增函数.(2)由(1)可知：f (x ) 2，若a1，则xa0，即f (x)0在1, e上恒成立，此时f(x)在1 ,e上为增函数，f(x) minf(1)a ，a (舍去).3若ae，则x a0，即f (x)0在1 ,e上恒成立，此时f(x) 在1,e上为减函数，f(x) minf(e)1 ，a (舍去).2若e0 ，f( x)在( a,e )上为增函数，f(x) minf(a)ln(a) 1 a .32综上可知：a .e5. （最值直接应用）已知函数 )1ln(2)(xxf ，其中 aR.（）若 2x是 )(f的极值点，求 a的值；（）求 f的单调区间；（）若 在 0,上的最大值是 0
7、，求 的取值范围.解：（） (1),(1,)xfx .依题意，令 2，解得 3a. 经检验， 13a时，符合题意. 5（）解： 当 0a时， ()1xf.故 )(xf的单调增区间是 ,；单调减区间是 )0,1(. 当 时，令 ()f，得 10，或 2xa.当 10a时， x与 的情况如下：x1(,)1x12(,)x22(,)x()f 00 1()f 2()f所以， ()fx的单调增区间是 ,a；单调减区间是 ,1和 (,)a.当 1a时， 的单调减区间是 ),(. 当 时， 20x， )f与 fx的情况如下：(1,)221(,)1x1(,)()fx 0 2()fx 1()f所以， ()f的单调
8、增区间是 1,0a；单调减区间是 ,a和 (0,). 当 0a时， )(f的单调增区间是 ()；单调减区间是 .综上，当 时， x的增区间是 ,，减区间是 ),1(；当 1时， f的增区间是 10a，减区间是 0和 ,)a；当 a时， )(的减区间是 ),(；当 时， fx的增区间是 ；减区间是 1(,)和 (,).（）由（）知 0a时， )(xf在 0,)上单调递增，由 0f，知不合题意.当 10时， )(f在 ,的最大值是 ()fa，由 ()fa，知不合题意.当 时， (xf在 0,)单调递减，可得 f在 ,上的最大值是 0)(f，符合题意. 所以， )在 上的最大值是 时， a的取值范围
9、是 1,).66. （2010北京理数18）已知函数 =ln(1+ x)- +2(k0).()f()当 k=2时，求曲线 y= 在点(1, f(1)处的切线方程；)f()求 的单调区间.f解：（I）当 2时，2()ln1)fxx，1()2fx由于 (1)lnf，32，所以曲线 yfx在点 (1,)f处的切线方程为3ln(1)2yx即 32l30x（II）()kf， (,)x.当 0k时，1x.所以，在区间 (,)上， ()0f；在区间 (,)上， ()0fx.故 )f得单调递增区间是 ,，单调递减区间是 ,.当 01k时，由1()xkf，得 1x， 2k所以，在区间 ,0和,)上， ()0f；
10、在区间(,)上， ()0fx故 ()fx得单调递增区间是 (1,和,k，单调递减区间是10,k.当 1k时，2()xf故 )f得单调递增区间是 (,).当 时， 01k，得 10kx， 2x.所以没在区间(,)和 (,)上， ()f；在区间1(,)k上， ()0fx故 ()fx得单调递增区间是k和 0,，单调递减区间是,7. （2010山东文21，单调性）已知函数1()ln()afxRx当 a时，求曲线 yf在点 2,(f处的切线方程；7当12a时，讨论 ()fx的单调性.解： ln0xy因为 1)(af，所以 21 xx2xa， ),0(，令 ,)(2ag),0(8. (是一道设计巧妙的好题
11、，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，联系紧密)已知函数 ln,().xfxg若函数 (x) = f (x) 1+-，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+) 上存在唯一的x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切解：（） 1()fln， 2211 xx 且 ， 函数 ()x的单调递增区间为 ，和,0（） ()fx ， 0()fx， 切线 l的方程为 01ln)y, 即 001lnyx, 设直线 与曲线 ()gx相切于点 1(xe， ()xge， 10， 0l, .
12、0ln1()xge直线 l也为 nyx， 即 00y， 8由得 00ln1lx， 01lnx下证：在区间（1,+ ）上 存在且唯一 .由（）可知， ()x1l在区间 ,+（ ） 上递增又 12()ln0e，22213()ln0ee，结合零点存在性定理，说明方程 0x必在区间 (,)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 0x， 故结论成立9. （最值应用，转换变量）设函数21()2)ln(0)axf (1)讨论函数 x在定义域内的单调性；(2)当 (3,)a时，任意 12,3， 12(ln)2l3|()|mafxf恒成立，求实数 m的取值范围解： 22fxax21x2(当 a时， ，增区间为(,)
13、，减区间为0,)a，(,)当 2时，1a，减区间为 0,当 0时， 2，增区间为1()2a，减区间为1(0,)2，,)a由知，当 (3,)时， )fx在 ,3上单调递减， 12,x， 12|(|fx (1)f()()ln36，即 2|()|f4)ln3a 12lnl(|maffx恒成立， ()l3，即24ma，又 0a，243a (,)，189， 1310. （最值应用）已知二次函数 gx对 R都满足2()()gxx且 (1)g，设函数919()ln28fxgmx（ R， 0x） （）求 的表达式；（）若 R，使 ()0f成立，求实数 m的取值范围；（）设 1e， (1)Hx，求证：对于 12
14、,xm、，恒有2|()|Hx 解：（）设 2gabc，于是22111xxx，所以21.ac，又 g，则 b所以 g 3分 （）29()lnln(0).28fmmxR，当m0 时，由对数函数性质，f （x）的值域为R；4 分当m=0 时，()0x对 ， ()0f恒成立； 5分 当m0 时，由fx，列表：x ()m， ()m，()f 0 减 极小 增min()()ln.2fxf这 时 ，inl00e0.f m，所以若 x， ()f恒成立，则实数m的取值范围是 (e0， 故 使 成立，实数m 的取值范围 (,， 9分（）因为对 1x， ，(1)xH，所以 ()Hx在 1,m内单调递减于是212|()
15、|()ln.Hm13|ln0.2x记3()ln(e)2hmm，则 211() 03h m，所以函数1l2在 1， 是单调增函数， 所以e3e() 0h，故命题成立 12分1011. 设 3x是函数 23,xfxabeR的一个极值点.（1）求 a与 b的关系式（用 表示 ） ，并求 f的单调区间；（2）设250,4xg，若存在 12,0,4，使得 12fg 成立，求的取值范围.解：（1） 23xfxabe 3xfe 23xxabe由题意得：30，即20， 3 3xfxa且 31xf e令得 1， 21a 3是函数 3,xfxbeR的一个极值点 12x，即 4a 故 与 b的关系式为 ,4. 当 时， 213，由 0fx得单增区间为： 3,1a；由 0fx得单减区间为： ,和 1,a；当 4a时， 2a，由f得单增区间为： ,；由f得单减区间为： ,和 3,；（2）由（1）知：当 0时， 210xa， fx在 ,3上单调递增，在 3,4上单调递减， ,)()4,(min)(3i efxf ma6f, 在 ,4上的值域为 6,. 易知25xgae在 0,上是增函数, x在 0,4上的值域为22454ae. 由于25160a，又要存在 12,，使得 12fg成立，必须且只须2564a解得:30a.
