1、小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 1 -逻辑推理（一） 数字游戏月 日 课次 专 题 知 识 简 述由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。例 题 解 析 例 1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地
2、的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往 A 市，有三辆开往 B 市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往
3、 A 市，说明第一、二辆车不可能都开往 A 市.（否则，如果第一、二辆车都开往 A 市的，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往 B 市）。再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往 A 市的.（否则，如果第一辆车开往 A 市，则第二辆车即可推断他一定开往 B 市）。运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往 B 市。例 2 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。解：因为张虎和小红、小林
4、都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 2 -对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。例 3
5、 “迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是_。解：首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖.否则，假设丁没获奖，那么丙也没获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出 4 个人全都能获奖，不可能.因此，只有甲没有获奖。例 4 数学竞赛后，小明、小华
6、、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌.王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得_牌，小华得_牌，小强得_牌。分析 逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析。解：若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。若小明得银牌时，再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得铜牌，那么王老师没有猜对一个，不合题意；如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，也不合题意.若小明得铜牌时，仍以小华
7、得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得银牌，那么王老师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，不合题意。综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意。例 5 有三只盒子，甲盒装了两个 1 克的砝码；乙盒装了两个 2 克的砝码；丙盒装了一个1 克、一个 2 克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗？分析 解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两个 1 克砝码”的盒子，则该盒的真实内容是“两个 2 克砝码”或“一个
8、1 克砝码，一个 2 克砝码”，当取出的是2 克砝码时，就无法对其内容作出准确的判断.同样，打开标有“两个 2 克砝码”的盒子时，也会出现类似的情况.所以，应打开标有“一个 1 克砝码，一个 2 克砝码”的盒子.而它的真实内容应该是“两个 1 克砝码”或“两个 2 克砝码”。小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 3 -若取出的是 1 克砝码，则该盒一定装有两个 1 克砝码，从而标有“两个 2 克砝码”的盒子里，不可能是两个 2 克或两个 1 克的砝码，而只能是一个 1 克，一个 2 克的砝码了；标有“两个
9、 1 克砝码”的盒子自然装有两个 2 克砝码。若取出的是 2 克砝码，同理可知，此盒装有两个 2 克砝码；标有“两个 1 克砝码”的盒子里实际上是一个 1 克和一个 2 克的砝码；标有“两个 2 克砝码”的盒子里实际上是两个 1 克砝码.按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。例 6 四人打桥牌，某人手中有 13 张牌，四种花色样样有；四种花色的张数互不相同.红桃和方块共 5 张；红桃与黑桃共 6 张；有两张将牌（主牌）.试问这副牌以什么花色的牌为主？解：假设红桃为主.那么红桃有 2 张；方块有 3 张；黑桃有 4 张，因为共 13 张牌，所以草花有 4 张，这样，黑桃为草花张数相同.与
10、已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，即红桃不是主牌。假设方块为主牌.那么方块有 2 张；红桃有 3 张；则黑桃也有 3 张，亦与已知矛盾。假设草花为主牌.那么草花有 2 张.并且推得红桃+方块+黑桃共有 11 张牌.而已知“红桃和方块共 5 张，红桃与黑桃共 6 张”，即得红桃+方块+红桃+黑桃共 11 张牌.由此得到红桃的张数应为零.与已知条件“四种花色样样有”相矛盾.说明草花不是主牌。由以上推理得知，黑桃必为主牌.即黑桃有 2 张；红桃有 4 张；方块有 1 张.那么草花有 6 张。例 7 S、B、J、R 四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知道自己获得的是哪
11、一门获学金.他们相互猜测：S：“R 得逻辑学奖”；B：“J 得英语奖”；J：“S 得不到数学奖”；R：“B 得语文奖”。最后发现，数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了.那么他们各得哪门学科的奖学金？分析 假设 S 猜对，即 R 得逻辑学奖.由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测是正确的”，则 R 猜对，那么 B 得语文奖，并且 J、B 均猜错.而由 B 猜错，可知 J 得数学奖，S 只好得英语奖，这又说明 J 猜“S 得不到数学奖”是正确的.与前面的推理（J 猜错）矛盾.所以 S 的猜测是错误的。解：S 猜错，即 R 得不到逻辑学奖，S 不得数学奖且不得逻辑学奖.由此可知，J
12、的猜测是正确的.则 J 得数学或逻辑学奖.于是推得，B 猜错，故 R 猜对，即 B 得语文奖，S 得英语奖，所以 R 得数学奖，J 得逻辑学 奖。小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 4 -例 8 A、B、C 三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击 6 次，并且都得了 71 分.三人共18 次的得分情况，从小到大排列为：1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。已知 A 首先射击两次，共得 22 分；C 第一次射击只得 3 分，请根据条件判断，是谁击中了靶心
13、（击中靶心得 50 分）？解：我们先来推断 A6 次射击的情况.已知前两次得 22 分，6 次共得 71 分，从71-2249可知，击中靶心的决不会是 A.另一方面，在上面 18 个数中，两数之和等于 22 的只可能是 20 和 2.再来推算一下四个数之和等于 49 的可能性.首先，在这四个数中，如果没有 25，是绝不可能组成 49 的.其次，由于 49-25=24，则如果没有 20，任何三个数也不能组成 24.而 24-20=4，剩下的两个数显然只能是 1 和 3 了.所以 A 射击 6 次的得分（不考虑得分顺序）应该是20，2，25，20，3，1。（可在前面 18 个数中，划去上述 6 个
14、数）。再来推断击中靶心的人 6 次得分的情况.从71-50=21可知，要在前面 12 个未被划去的数中，取 5 个数，使其和是 21.可以断定，这 5 个数中，必须包括一个 10，一个 5，一个 3，一个 2，一个 1.即 6 次得分情况为50，10，5，3，2，1。在前面 12 个未被划去的数中，划去上面这 6 个数。剩下的 6 个数25，20，10，10，5，1就是第三个人的得分情况了。从这 6 个数中没有 3，而 C 第一次得了 3 分，可知这 6 个数是 B 射击的得分数.因此C 是击中靶心的人。例 9 在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.一次我们
15、和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子.”第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.”小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 5 -第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.”第四个人说：“我是老实人.”请判断一下，第四个人是老实人吗？解：四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。第二个人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子
16、，则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。所以，第四个人是老实人。例 10 某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G 七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道：A 的夜班比 C 的夜班晚一天，D 的夜班比 E 的夜班的前一天晚三天，B 的夜班比 G 的夜班早三天；F 的夜班在 B 和 C 的夜班的正中间，而且是在星期四.问每个护士分别在
17、星期几值夜班？解：除 F 以外，可将已知条件归纳如下：CA，E_D，B_G.这里的横线表示空位。可见 CA 不能排在 B_G 中间，否则 F 就无法排在 BC 的正中间了.又 F 必排在三个空位之一，因此还有两个空位必定是 E_D 和 B_G 交叉填空.于是可排出：EBDFG 或 BFEGD两种情况，而 CA 只能加在任何一端，那么就有 CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD 和BFEGDCA 四种排位.其中只有排位 EBDFGCA 才能满足已知条件“F 在 BC 的正中间”.所以七名护士值班排序是：E 星期一值班，B 星期二值班，D 星期三值班，F 星期四值班，G 星期五值班，C 星
18、期六值班，A 星期日值班.练习巩固1.有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠宝.经过几个月的侦破，查明作案的人肯定是 A、B、C、D 中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这样的口供：A：“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的.”B：“D 是罪犯.”C：“B 是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝.”D：“B 与我有仇，陷害我.”因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的是真话.你知道罪犯是谁吗？小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 6 -2
19、.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。赵说：“甲是 2 号，乙是 3 号.”钱说：“丙是 4 号，乙是 2 号.”孙说：“丁是 2 号，丙是 3 号.”李说：“丁是 4 号，甲是 1 号.”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？3.对某班同学进行了调查，知道如下情况：有哥哥的人没有姐姐；没有哥哥的人有弟弟；有弟弟的人有妹妹。试问：（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？（2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？（3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？4.某校办数学竞赛，A、B、C、D.E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况。A 说：B 第三名，C
20、第五名。B 说：E 第四名，D 第五名。C 说：A 第一名，E 第四名。D 说：C 第一名，B 第二名。E 说：A 第三名，B 第四名。老师说：每个名次都有人猜对.那么，这五名同学的名次是怎样排列的？练习答案1.根据 B、D 两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话.假设 B说真话，那么 D 是罪犯，而 A 也说了真话，产生了矛盾，所以只有 D 说真话，其余三人均说假话，则 A 偷了珠宝。小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 7 -2.直接推理可得，由于每人只说对一半，且只有李提到了 1 号，故甲
21、是 1 号，从而逐步推出：乙是 3 号，丙是 4 号，丁是 2 号。3.根据条件得到（1）是对的；“有弟弟且有哥哥”并不与矛盾，因此得到（2）是不对的；根据条件得到（3）是对的；4.名次排列为：C、B、A、E、D 解法如第 2 题.教学反思第二十五讲 逻辑推理（二）数字游戏月 日 课次 专 题 知 识 简 述上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门的数学原理，而是直接运用正确推理，解决逻辑问题的.这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问题。例 题 解 析 例 11 一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“”，认为错误的就画“”.记分的方法是：答对一题给 2
22、分；不答的给 1 分；答错的不给分.已知A、B、C、D、E、F、G 七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出 G 的得分，并简单说明你的思路。分析 由于 E 得了 9 分，说明他只答错了一道题.先假定答错的是第 1 题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分.如出现矛盾，再假定 E 答错的是第 2 题，直到判断出 E 答错的题号为止.有了正确的答案，就可以写出 G 的得分。解：假设 E 的第 1 题答错，那么 A 至少错 3 道题，一题未答，最多得 5 分，与 A 得 7分矛盾.所以 E 第 1 题答对。假设 E 第 2 题答错，可知 A 最多得 3 分，矛盾.所以 E 第
23、2 题答对。小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 8 -假设 E 第 3 题答错，则 B 最多得 3 分，矛盾.所以 E 第 3 题答对。假设 E 第 6 题答错，则 D 最多得 3 分，矛盾.所以 E 第 6 题答对。由于 E 得 9 分，因此 E 只答错一题，因此 E 第 4 题答错，于是 A 的第 2、4 两题对，3、6 两题错.而 A 得 7 分，说明 A 的第 5 题是对的.由 A、E 两人的答案，可得一标准答案如下表：按此标准评分，与题中所给 A、B、C、D、E、F 得分相符合，所以 E 的第
24、 4 题确实答错了.上表的答案是正确的.故可知 G 得 8 分。例 12 李英、赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖.现在知道：李英不是金城的选手；赵林不是沙市的选手；金城的选手不是一等奖；沙市的选手得二等奖；赵林不是三等奖。根据上述情况，王红是_的选手，他得的是_等奖。解：为了便于分析，我们画表帮助思考.根据条件，在相应的格中打上“”。由条件得出：如果王红是沙市的选手，他得二等奖，那么由条件可知：金城选手不是一等奖，只能是三等奖.又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖.这与条件矛盾.所以王红不是沙市选手，沙市选手应该是李英，他得二
25、等奖.这样金城的选手只能是王红，他得三等奖。例 13 李云和他哥哥参加一次集会，同时出席的还有其他两对兄弟.见面后有的人握手问候，没有人和自己的兄弟问候，也没有人和同一个人握两次手.事后李云发现除自己外每个人握手次数互不相同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？小学奥数培优：以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 9 -解：设除李云（用 0 表示）之外的五个人分别是 A、B、C、D、E，他们握手的次数分别是 0 次、1 次、2 次、3 次、4 次，那么他们的握手情况可以用右图来表示，其中一条连线表示握过手一次，没有连
26、线即表示没握过手。从图中很容易看出：李云握手 2 次。那么，谁是李云的哥哥呢？因为 A 是唯一没有和 E 握过手的人，所以 A、E 是一对兄弟.D 只和 A、B 没握过手，而 A 已经是 E 的兄弟了，所以 B、D 也是一对兄弟.这样只剩下C 是李云的哥哥，他握手的次数也为 2 次.例 14 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有 A、B、C、D、E 五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。A 猜：第二包是紫的，第三包是黄的；B 猜：第二包是蓝的，第四包是红的；C 猜：第一包是红的，第五包是白的；D 猜：第三包是蓝的，第四包是白的；E 猜：第二包是黄的，第五
27、包是紫的。猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对.请你判断他们各猜对了哪一包？解：我们把题目中的条件列成一个表，就更清楚了。根据已知条件，每一包都只有一人猜对，而第一包只有 C 猜，所以 C 猜对了第一包，是红的；又根据每人只猜对了一种，所以 C 猜第五包是白的，猜错了；第五包只有 C、E两人猜，所以 E 猜第五包是紫的，猜对了；那么 E 猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有 A、E 两人猜，那么 A 猜第二包是紫的，猜错了；第二包有 A、B、E 三人猜，其中 A、E 都猜错了，所以 B 猜第二包是蓝的，猜对了；那么 B 猜第四包是红的，猜错了；小学奥数培优：
28、以德为先 以礼育人 以知建树 以生为本 善学习 会思考 懂生活 知做人 勤实践 能创造小学五年级 编订者：杨威- 10 -D 猜第三包是蓝的，也猜错了；所以 A 猜对的是第三包，是黄的；D 猜对的是第四包，是白的。总结以上推理判断，A 猜对了第三包是黄的，B 猜对了第二包是蓝的，C 猜对了第一包是红的，D 猜对了第四包是白的，E 猜对了第五包是紫的。注如果题中只给了一个条件：“每人都只猜对了一包”，你能判断他们都猜对了哪包吗？例 15 有 A、B、C 三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A 有一场踢平，共进球2 个，失球 8 个；B 两战两胜，共失球 2 个；C 共进球 4 个，失球 5
29、 个，请你写出每队比赛的比分。分析 解决本题首先要明白两点常识：一个队踢进一个球，对方就失去一个球，所以三个队的总进球数应等于总失球数；两个队踢平，显然该场球的进、失球的总数应相等。根据已知条件，可以列成表格如下：解：已知每两个队要赛一场，一共要赛三场球.B 是两战两胜，显然一场胜 A，另一场胜 C；A 踢平一场无疑是与 C 比赛的这场球。由总进球数等于总失球数，则 B 队的进球数应为 9 个。因为 A 与 C 两队进球总数是 6 个，那么除去 A、C 对 B 的那两场球赛中，踢进 B 队的那 2 球外，剩下的 4 个球便是 A 与 C 踢平那一场中双方各自踢进对方的进球数的和，因此A 与 C
30、 踢成 2 比 2。现在从 C 的进球数分析，由于 C 进球 4 个，除去与 A 两平外，另外进的两个球是对 B比赛进的球数；再从 C 的失球数分析，因为 C 对 A 失两球，表中 C 共失了 5 个球，因此另外失的 3 个球就是对 B 失的球数.所以 C 对 B 是 2 比 3。再因为 B 进球共 9 个，除去对 C 进的 3 个球，那么对 A 就进了 6 个球，A 对 B 没有进球，所以 B 对 A 是 6 比 0。例 16 北京至福州列车里坐着 6 位旅客：A、B、C、D、E、F.分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州，已知A 和北京人是医生；E 和天津人是教师；C 和上海人是工程师。A、B、F 和扬州人参过军，而上海人从未参军。
