1、1第 1 讲 等差数列与等比数列1(2015课标全国)已知 an是公差为 1 的等差数列， Sn为 an的前 n 项和，若S84 S4，则 a10等于( )A. B. C10 D12172 1922(2015安徽)已知数列 an是递增的等比数列， a1 a49， a2a38，则数列 an的前 n项和等于_3(2014广东)若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则 ln a1ln a2ln a20_.4(2013江西)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN *)等于_1.等差、等比
2、数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一 等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列： an a1( n1) d；等比数列： an a1qn1 .2(2)求和公式等差数列： Sn na1 d；n a1 an2 n n 12等比数列： Sn (q1)a1 1 qn1 q a1 anq1 q(3)性质若 m n p q，在等差数列中 am an ap aq；在等比数列中 aman apaq.例 1 (1)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn.若 a111， a4 a66，则当 S
3、n取最小值时，n_.(2)已知等比数列 an公比为 q，其前 n 项和为 Sn，若 S3， S9， S6成等差数列，则 q3等于( )A B112C 或 1 D1 或12 12思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量跟踪演练 1 (1)(2015浙江)已知 an是等差数列，公差 d 不为零若 a2， a3， a7成等比数列，且 2a1 a21，则 a1_， d_.(2)已知数列 an是各项均为正数的等比数列， a1 a21， a3 a42，则 log2_.a2 011 a2 0
4、12 a2 013 a2 0143热点二 等差数列、等比数列的判定与证明数列 an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列 an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明 an1 an(nN *)为一常数；利用中项性质，即证明 2an an1 an1 (n2)(2)证明 an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明 (nN *)为一常数；an 1an利用等比中项，即证明 a an1 an1 (n2)2n例 2 (2014大纲全国)数列 an满足 a11， a22， an2 2 an1 an2.(1)设 bn an1 an，证明： bn是等差数列；3(2)求 an的通项公式思维升华 (1)判断
5、一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前 n 项和公式，但不能作为证明方法(2) q 和 a an1 an1 (n2)都是数列 an为等比数列的必要不充分条件，判断时还an 1an 2n要看各项是否为零跟踪演练 2 (1)(2015大庆铁人中学月考)已知数列 an的首项 a11，且满足 an1 ，则an4an 1an_.(2)已知数列 an中， a11， an1 2 an3，则 an_.热点三 等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解例 3 已知等差数列 an
6、的公差为1，且 a2 a7 a126.(1)求数列 an的通项公式 an与前 n 项和 Sn；(2)将数列 an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn的前 3 项，记 bn的前 n 项和为 Tn，若存在 mN *，使对任意 nN *，总有 Sn0， a3 a100， a6a70 的最大自然数 n 的值为( )A6 B7C12 D132已知各项不为 0 的等差数列 an满足 a42 a 3 a80，数列 bn是等比数列，且27b7 a7，则 b2b12等于( )A1 B2C4 D83已知各项都为正数的等比数列 an满足 a7 a62 a5，存在两项 am， an使得 4
7、 a1，则 的最小值为( )aman1m 4mA. B.32 53C. D.256 434已知等比数列 an中， a4 a610，则 a1a72 a3a7 a3a9_.提醒：完成作业 专题四 第 1 讲6二轮专题强化练专题四第 1 讲 等 差 数 列 与 等 比 数 列A 组 专题通关1已知等差数列 an中， a510，则 a2 a4 a5 a9的值等于( )A52 B40C26 D202已知等差数列 an中， a7 a916， S11 ，则 a12的值是( )992A15 B30C31 D643(2015浙江)已知 an是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3， a4，
8、a8成等比数列，则( )A a1d0， dS40 B a1d0， dS40C a1d0， dS40 D a1d0， dS404设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，( n1) SnnSn1 (nN *)若 1，则( )a8a7A Sn的最大值是 S8 B Sn的最小值是 S8C Sn的最大值是 S7 D Sn的最小值是 S75数列 an的首项为 3， bn为等差数列且 bn an1 an(nN *)，若 b32， b1012，则a8等于( )A0 B3 C8 D116若数列 n(n4)( )n中的最大项是第 k 项，则 k_.237(2015课标全国)设 Sn是数列 an的前 n 项和，且
9、a11， an1 SnSn1 ，则Sn_.78已知数列 an的首项为 a12，且 an1 (a1 a2 an) (nN *)，记 Sn为数列 an的12前 n 项和，则 Sn_， an_.9成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b3、 b4、 b5.(1)求数列 bn的通项公式；(2)数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列 Sn 是等比数列5410(2015广东)设数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *.已知 a11， a2 ， a3 ，且当32 54n2 时，4 Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 .(1)求 a4的值；(
10、2)证明： 为等比数列；an 112an(3)求数列 an的通项公式B 组 能力提高11已知 an是等差数列， Sn为其前 n 项和，若 S21 S4 000， O 为坐标原点，点 P(1， an)，Q(2 011， a2 011)，则 等于( )OP OQ 8A2 011 B2 011 C0 D112(2015福建)若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p0， q0)的两个不同的零点，且a， b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于( )A6 B7 C8 D913数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1 ，且对任意正整数 m， n，
11、都有 am n aman，若15Snt 恒成立，则实数 t 的最小值为_14已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和， S4， S2， S3成等差数列，且 a2 a3 a418.(1)求数列 an的通项公式；(2)是否存在正整数 n，使得 Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由9学生用书答案精析专题四 数列、推理与证明第 1 讲 等差数列与等比数列高考真题体验1B 公差为 1， S88 a1 18 a128， S44 a16.8 8 12 S84 S4，8 a1284(4 a16)，解得 a1 ，12 a10 a19 d 9 .故选 B.12 19222 n
12、1解析 由等比数列性质知 a2a3 a1a4，又 a2a38， a1 a49，所以联立方程Error!解得Error!或 Error!又数列 an为递增数列， a11， a48，从而 a1q38， q2.数列 an的前 n 项和为 Sn 2 n1.1 2n1 2350解析 因为 a10a11 a9a122 a10a112e 5，所以 a10a11e 5.所以 ln a1ln a2ln a20ln( a1a2a20)ln( a1a20)(a2a19)(a10a11)ln( a10a11)1010ln( a10a11)10ln e 550ln e50.46解析 每天植树棵数构成等比数列 an，其中
13、 a12， q2.则 Sn 2(2 n1)100，即 2n1 102.a1 1 qn1 q n6，最少天数 n6.热点分类突破例 1 (1)6 (2)A解析 (1)设该数列的公差为 d，则 a4 a62 a18 d2(11)8 d6，解得 d2，所以 Sn11 n 2 n212 n( n6) 236，n n 1210所以当 Sn取最小值时， n6.(2)若 q1，则 3a16 a129 a1，得 a10，矛盾，故 q1.所以 a1 1 q31 q a1 1 q61 q2 ，a1 1 q91 q解得 q3 或 1(舍)，故选 A.12跟踪演练 1 (1) 1 (2)1 00523解析 (1) a
14、2， a3， a7成等比数列， a a2a7，23即( a12 d)2( a1 d)(a16 d)， a1 d，232 a1 a21，2 a1 a1 d1 即 3a1 d1， a1 ， d1.23(2)在等比数列中，( a1 a2)q2 a3 a4，即 q22，所以 a2 011 a2 012 a2 013 a2 014( a1 a2 a3 a4)q2 01032 1 005，所以 log2a2 011 a2 012 a2 013 a2 01431 005.例 2 (1)证明 由 an2 2 an1 an2 得an2 an1 an1 an2，即 bn1 bn2.又 b1 a2 a11，所以 bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)解 由(1)得 bn12( n1)2 n1，即 an1 an2 n1. an an1 2 n3，an1 an2 2 n5，a2 a11，
