1、高三数学（文）培优压轴题(3)班级 姓名 学号 1 已知数列 的前 设na11,4,nnnSaa项 和 为 12.nnba（I）证明数列 是等比数列；b（II）数列若对*1234121(), ,log3nn n nncNTccc满 足 设一切 恒成立，求实数 m 的取值范围.*42nmTN不 等 式2已知函数 (1)()ln.afxx（I）若函数 上为单调增函数，求 a 的取值范围；0,在（II）设 , :.ln2mnm R且 求 证高三数学（文）培优3已知点 A（1，1）是椭圆 )0(12bayx上一点，教育博客 F1，F 2 是椭圆的两焦点，且满足 4|21F.（1）求椭圆的两焦点坐标；（
2、2）设点 B 是椭圆上任意一点，教育博客如果| AB|最大时，教育博客求证 A、B 两点关于原点 O 不对称；（3）设点 C、 D 是椭圆上两点，直线 AC、AD 的倾斜角互补，教育博客试判断直线 CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。4已知函数 axxf1ln)(，其中 为大于零的常数教育博客（1）若函数 在 ),上单调递增，求 a的取值范围；教育博客（2）求函数 )(f在区间 21上的最小值；（3）求证：对于任意的 *Nn且 时，都有 nn132l成立高三数学（文）培优5.顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过 A0(1,1)，过 A0 作抛物线的切线交 x 轴于
3、 B1，过B1 点作 x 轴的垂线交抛物线于 A1，过 A1 作抛物线的切线交 x 轴于B2，过 An(xn，y n)作抛物线的切线交 x 轴于 Bn1 (xn1, 0)(1)求x n， yn的通项公式；(2)设 an ，数列a n的前 n 项和为 Tn.求证：T n2n .11 xn 11 xn 1 12(3)设 bn1log 2yn，若对任意正整数 n，不等式(1 )(1 )(1 )a 成立，1b1 1b2 1bn 2n 3求正数 a 的取值范围.6.已知函数 ，设正项数列 的首项 ，前 n 项和 满足2()(0fxxna12nS（ ，且 ） 。1nSn*N（1）求 的表达式；na（2）在
4、平面直角坐标系内，直线 的斜率为 ，且 与曲线 相切， 又与 y 轴交于nlnal2yxnl点 ，当 时，记 ，若 ，设(0,)nDb*N14nndD1ndC，求 。123n nTCC T高三数学（文）培优压轴题(3) 参考答案1 （I）证明：由于 14,nnSa当 2,.时得 所以11nn112().nna因为1,2.nnba又所 以 1121,4,a且 21134.2ab所 以所 以故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.（II）由（I）可知 *21, ().log3nnbcnbN则123414567()4n nTc= .4()n22,.3(4)68.nnmTcn由得即所 以所以 2
5、233811.mnn2*(),.15,),415.4fxxnmN设可 知 在 为 减 函 数 又 f(=则 当 时 有 f(.所 以故当 恒成立. ,(2)nnTc时高三数学（文）培优2解：（I） 21()(1)()axf222().(1)1xx因为 上为单调增函数，所以 上恒成立.0,f在 ()0(,)fx在22()(0,).,1,1.(),(,).21,()2.xaxaxgxxgx即 在 上 恒 成 立当 时 由得设所 以 当 且 仅 当 即 时 有 最 小 值.2a所 以所 以所以 a 的取值范围是 (,2.（II）不妨设 01mn则 ,l21,ln要 证只 需 证即证2()l.1mn只
6、需证 ()l0.m2(1)()ln.xhx设由（I）知 上是单调增函数，又 ，,在 1mn高三数学（文）培优()10.2ln.mh所 以即 成 立所以 .lnm3解：（I ）由椭圆定义知： 42a， 14,22byx把（1，1）代入得 12b32，则椭圆方程为 342，83422ac， 6c故两焦点坐标 为 )0,2(),6( 教育博客（II）用反证法：假设 A、教育博客 B 两点关于原点 O 对称，教育博客则 B 点坐标为（ 1， ） ，此时 2|B取椭圆上一点 ),2(M，教育博客则 .10|A.|AM从而此时|AB| 不是最大，这与|AB|最大矛盾，教育博客所以命题成立。（III）设 A
7、C 方程为： 1)(xky联立 143)(2yxk教育博客消去 y得 06)(6)31( 22k点 A（1，1）在椭圆上 132xC 直线 AC、AD 倾斜角互补 AD 的方程为 1)(xky同理 1362kxD 教育博客又 )(Ccy， 1)(Dxky， kxkyDCDC2)(所以 3Dxk教育博客即直线 CD 的斜率为定值 3 高三数学（文）培优4解： )0(1)(2xaf （1）由已知，得 f在 ),上恒成立， 即 xa1在 ),上恒成立又当 ,x时， 1x， a，即 的取值范围为 （2）当 a时， 0)(f在（1，2）上恒成立，这时 )(xf在1，2 上为增函数， .0)1()(min
8、fxf当 210， )(xf在（1，2）上恒成立，这时 )(xf在1，2上为减函数,.ln)(minaxf当 1a时，令 0)(xf，得 ).2,1(又 对于 ,x有 ，对于 ax有 0)(xf，.1ln)()(minaaff 综上， x在1，2 上的最小值为 :当 20时， xf2l)(min； 当 1a时，.1ln)(mi axf当 时， 0)(minxf. （3）由（1） ，知函数 xln1在 ),上为增函数，当 n时， 1， ()(ff，即 n)l(，对于 ,*N且 恒成立, 1ln2l3n)2ln()l(l .2131n对于 *N，且 n时， n132l恒成立. 5.解：(1)由已知
9、得抛物线方程为 yx 2，y2x，则设过点 An(xn，yn)的切线为 yx 2x n(xx n).2n令 y0，x ，故 xn1 .又 x01， xn ，yn .xn2 xn2 12n 14n高三数学（文）培优(2)证明：由(1)知 xn( )n，12所以 an 11 (f(1,2)n 11 (f(1,2)n 1 2n2n 1 2n 12n 1 1 1 1 2( ).2n 1 12n 1 2n 1 1 12n 1 1 12n 1 12n 1 1 12n 1 12n 1 1由 得 2( )，12n 1 12n 1 1 12n 12n 1从而 Tna 1a 2a n2( )2( )2( )12
10、122 122 123 12n 12n 12n( )( ) ( )2n( )2n ，即 Tn2n .12 122 122 123 12n 12n 1 12 12n 1 12 12(3)由于 yn ，故 bn2n1，14n对任意正整数 n，不等式(1 )(1 )(1 )a 成立，1b1 1b2 1bn 2n 3a (1 )(1 )(1 )恒成立.12n 3 1b1 1b2 1bn设 f(n) (1 )(1 )(1 )，12n 3 1b1 1b2 1bnf(n1) (1 )(1 )(1 )(1 )，12n 5 1b1 1b2 1bn 1bn 1 (1 ) 1，f(n 1)f(n) 2n 32n 5
11、 1bn 1 2n 32n 52n 42n 3 2n 42n 5 2n 3 4n2 16n 164n2 16n 15f(n1)f( n)，故 f(n)为递增，f (n)minf(1) ，0a .1543 4515 45156解：（1）)由 得： ，所以数列 是以 为公21SnSnS2差的等差数列。 ，S n=2n2，a n=SnS n-1=4n2（n2） ，又2na1=2。a n=4n2（2）设 ，由:nlnyxb22 0nnyaxbaxb据题意方程有相等实根， 240n 21(4)(1)nnba当 时，*N221(1)14ndbnn高三数学（文）培优2222(1)()84114()2nnnC n123 1135712n nTC n
