1、1数学研究课题-空间几何体的外接球与内切球问题例 1用两个平行平面去截半径为 的球面，两个截面圆的半径为 ，Rcmr241两截面间的距离为 ，求球的表面cmr52cmd27积分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于 ，21,BA上述大圆的垂直于 的直径交 于 ，如1BA21,O图 2设 ，则 ，解得 21,dO221547Rd5)(5042cmRS体说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解例
2、2自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求MMCBA,的值2CMBA分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联解：以 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 补成一个长, ABC方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径= 22MCBA24)(R说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算例 3试比较等体积的球与正方体的表面积的大小分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系解
3、：设球的半径为 ，正方体的棱长为 ，它们的体积均为 ，raV2则由 ， ，由 得 43,34Vr3r,3Va332232)(S体32222 166VVa体，即 14343体体S说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计例 4设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的解：如图，正四面体 的中心为 ， 的中心为 ，则第一个球半径为正ABCDOBCD1O四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中
4、心到顶点的距离设 ，正四面体的一个面的面积为 ROr,1 S依题意得 ，)(3rSVBCDA又 O14即 rR所以 942Rr体 271343Rr体说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 ( 为正四面体的高) ，且外hr41接球的半径 rR3例 5 半径为 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥求该四棱锥的体积分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示3解：棱锥底面各边相等，底面是菱形棱锥侧棱都相等，侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆
5、底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥过该棱锥对角面作截面，设棱长为 ，则底面对角线 ，aaAC2故截面 是等腰直角三角形SAC又因为 是球的大圆的内接三角形，所以 ，即 R高 ，体积 RO3231SOV底说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行） ，可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解例 6
6、 在球面上有四个点 、 、 、 ，如果 、 、 两两互相垂直，且PABCPABC求这个球的表面积aCPBA分析： ，因而求球的表面关键在于求出球的半径 24RS球 面 R解：设过 、 、 三点的球的截面半径为 ，r球心到该圆面的距离为 ，d则 22r由题意知 、 、 、 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥PABC（如图所示） 的外接圆是球的截面圆BC由 、 、 互相垂直知， 在 面上的射影 是 的垂心，又PABCPABCOABC，a所以 也是 的外心，所以 为等边三角形，O4且边长为 ， 是其中心，a2O从而也是截面圆的圆心据球的截面的性质，有 垂直于 所在平面， O因此 、 、 共线
7、，三棱锥 是高为 的球内接正三棱锥，从而P ABCPP由已知得 ， ，所以 ，ORdar36a3222)(PORrdR可求得 ， a2324RS球 面说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系例 7 已知棱长为 3 的正四面体 ， 、 是棱 、 上的点，且 ，ABCDEFABCFCA2求四面体 的内切球半径和外接球半径AEB2F分析：可用何种法求内切球半径，把 分成 4 个小体积(如图) V解：设四面体 内切球半径为 ，球心 ，外接球半
8、径 ，球心 ，连结 、AEFDrNRMNA、 、 ，则 NE EFDNAFDAENVVV四面体 各面的面积为， ， 239ABCAEFS23ABCAFDS431ABCAEDS各边边长分别为 ， ，DE7 345EFS ，29ABCDADV5，)(31DEFAFDAEAEFDSSrV ，43522 86r如图，是直角三角形，其个心是斜边 的中点 AEFAFG设 中心为 ，连结 ，过 作平面 的垂线， 必在此垂线上，BC1O1DEM连结 、 1GM ， ，A平 面ABC平 面1 ， 1/DO在直角梯形 中， ， ，G161DO， ，RM22RA又 ， ，11)(MDO 221)(R解得： 20综上
9、，四面体 的内切球半径为 ，外接球半径为 AEF86210说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径这样分割的思想方法应给予重视例 8 球面上有三点 、 、 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中ABC6， 、 ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面18AB24C30A积分析：求球的表面积的关键是求球
10、的半径，本题的条件涉及球的截面， 是截面ABC的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式 求出球半径 22dRrR解： ， ， ，18AB4C30A ， 是以 为斜边的直角三角形22B 的外接圆的半径为 ，即截面圆的半径 ，1515r又球心到截面的距离为 ，Rd ，得 22)1(R30球的表面积为 120)(4S说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式 解题，我们可以通过两2dRr个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量例如，过球 表面上一O点 引三条长度相等的弦 、 、 ，且两两夹角都为 ，若球半径为 ，求弦AABCD60R
11、的长度由条件可抓住 是正四面体， 、 、 、 为球上四点，则球心BABCD在正四面体中心，设 ，则截面 与球心的距离 ，过点 、 、aad3BC的截面圆半径 ，所以 得 Dr322)6()3(R6例 9 正三棱锥的高为 1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，R而点面距离常可以用等体积法解决解：如图，球 是正三棱锥 的内切球， 到正三棱锥四个面的距离都是球OABCPO的半径 R是正三棱锥的高，即 PH1PH7是 边中
12、点， 在 上，EBCHAE的边长为 ， A62263 3P可以得到 2321 PEBCSSPACB36)2(4ABC由等体积法， ABCOPACOPBABCP VVV RR36123163得： ，6R )625(8)(422S球 336V球说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径 来求出 ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方R法比如：四个半径为 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是 ，四个R2球心构成一个棱长为 的正四面体，可以计算正四面体的高
13、为 ，从而2 36上面球离开桌面的高度为 R36例 10 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系解：如图，等边 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形 ，截球面得球SAB 1CD8的大圆圆 1O设球的半径 ，则它的外切圆柱的高为 ，底面半径为 ；RR2，B30cot1，OS6an ， ，34RV球 32R柱，32)(1锥 964 锥柱球例 11 正三棱锥 的侧棱长为 ，两侧棱的夹角为 ，求它的外接球的体积ABCPl2分析：求球半径，是解本题的关键解：如图，作 底面 于 ，则 为正 的中心PDABC
14、DABC 底面 ， 、 、 三点共线OO ， lBA2 sinco2ll ，i3D设 ，作 于 ，在 中，APPAOEPDRt ，sin32sin又 ， Rl21在 中， ，POEt2sin341cosPE9 )sin43(2sin341223llV球说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系例 12 在球心同侧有相距 的两个平行截面，它们的面积分别为cm9和 求球的表面积249cm20分析：可画出球的轴
15、截面，利用球的截面性质，求球的半径解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知， ，且若 、 分别为两截21/BOA12面圆的圆心，则 ， 设球的半径为 1AO2BR ，492B)(72cm同理 ，01 01设 ，则 xcmOcx)9(2在 中， ；在 中， ，ARt1BORt2227)9(x ，解得 ，222)(70xx15x ，5 )(242cmRS球球的表面积为 010几何体与球切、接的问题1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图
16、所示，正方体 ，设正方体的棱长为 ， 为棱的中点，1ABCDa,EFHG为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形O和其内切圆，则 ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH2aOJr和其外接圆，则 ；三是球为正方体的外接球，GR截面图为长方形 和其外接圆，则 .通过这三1AC132AOa种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 . ar2ra（2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .ar23ra
