1、有理数、数轴绝对值与相反数一、知识点回顾：1.1 正数和负数以前学过的 0 以外的数前面加上负号“” 的书叫做 负数。以前学过的以外的数叫做正数。数既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1.2 有理数1.2.1 有理数正整数、0、 负整数统称整数，正分数和 负分数统称分数。整数和分数统称有理数。1.2.2 数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。同一根数轴，单位长度不能改变。一般地，设是一个正数，则数轴上表示 a 的点在原点
2、的右边，与原点的距离是 a 个单位长 度；表示数 a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个单位长度。1.2.3 相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上“ ”号，新的数就表示原数的相反数。1.2.4 绝对值一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左 边的数小于右边的数。比较有理数的大小：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。1.3 有理数
3、的加减法1.3.1 有理数的加法有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。一个数同 0 相加，仍得这个数。两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a bba三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：(ab)ca(bc)1.3.2 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。aba( b) 1.4 有理数的乘除法1.4.1 有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得
4、正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘，都得 0。乘积是 1 的两个数互为倒数。几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时， 积是正数；负因数的个数是奇数时， 积是负数。两个数相乘，交换因数的位置，积相等。abba三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）ca（bc）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a（bc）abac数字与字母相乘的书写规范：数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”数字与字母相乘，当系数是 1 或1 时， 1 要省略不写。带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。用字母 x 表示任意一个有理数，2 与 x 的乘
5、积记为 2x，3 与 x 的乘积记为3x，则式子 2x3x 是 2x 与 3x 的和， 2x 与 3x 叫做 这个式子的项， 2 和 3 分别是着两项的系数。一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得 结果作为系数，再乘字母因数，即axbx（ab）x上式中 x 是字母因数，a 与 b 分别是 ax 与 bx 这两项的系数。去括号法则：括号前是“ ”，把括号和括号前的“” 去掉，括号里各项都不改变符号。括号前是“ ”，把括号和括号前的“” 去掉，括号里各项都改变符号。括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子
6、各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。1.4.2 有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。aba (b0)b1两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0的数，都得 0。因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，当 an 看作 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂。负数的奇次幂是负数，负
7、数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同极运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行1.5.2 科学记数法把一个大于 10 的数表示成 a10n 的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数），使用的是科学记数法。用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 n1。1.5.3 近似数和有效数字接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字
8、都是这个数的有效数字。对于用科学记数法表示的数 a10n，规定它的有效数字就是 a 中的有效数字。二、讲解与练习：1. 3 的相反数是（ ）A.3 B. C. D.31313考点：相反数。专题：计算题。分析：根据相反数的定义即可求出 3 的相反数解答：解：3 的相反数是3故选 A点评：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0 的相反数还是 02. 2 的相反数是（ ）A2 B2 C D212考点：相反数。专题：计算题。分析：根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变2 前面的符号，即可得2 的相反数解答：解：由相反数的意义得，2 的相反数
9、是 2故选 A点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 03. 的相反数是（ ）12A、 B、 C、2 D、21考点：相反数。专题：计算题。分析：根据相反数的定义进行解答即可解答：解：由相反数的定义可知， 的相反数是（ ）= 1212故选 B点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫互为相反数4. 2 的相反数是（ ）A、2 B、2 C、 D、12考点：相反数。专题：计算题。分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数就是相反数，进行判断解答：解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2故选
10、 A点评：本题考查了相反数的定义应该从相反数的符号特点及在数轴上的位置关系进行判断5. 2 的绝对值是（ ）A.2 B. C.2 D.21 21考点：绝对值.专题：计算题.分析：根据负数的绝对值等于它的相反数求解解答：解：因为|2| 2，故选 C点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 06. |3|的值等于（ ）A3 B3 C3 D 3考点：绝对值。专题：计算题。分析：根据绝对值的性质一个负数的绝对值等于这个数的相反数，直接就得出答案解答：解：| 3|=3，故选：A点评：此题主要考查了绝对值的性质，熟练应用绝对值的性质是解决问题的关键填空题
11、：1. 若|x3| |y2|0，则 xy 的值为 考点：非负数的性质：绝对值。专题：计算题。分析：根据非负数的性质，可求出 xy 的值，然后将 x， y 再代入计算解答：解：|x 3| y2|0，x30，y20，x3，y2，则 xy 的值为：321，故答案为：12.数轴上点 A、B 的位置如图所示，若点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数为 考点：数轴。专题：数形结合。分析：点 A 表示的数是1，点 B 表示的数是 3，所以，|AB|=4；点 B 关于点 A 的对称点为 C，所以，点 C 到点 A 的距离|AC|=4 ，即，设点 C 表示的数为 x，则，1x=4 ，解出即可解答
12、；解答：解：如图，点 A 表示的数是 1，点 B 表示的数是 3，所以，|AB|=4；又点 B 关于点 A 的对称点为 C，所以，点 C 到点 A 的距离|AC|=4，设点 C 表示的数为 x，则，1x=4，x=5；故答案为5三、课后练习与测试：一、填空题12 的相反数是 ，0.5 的相反数是 ，0 的相反数是 。2如果 a 的相反数是3,那么 a = . 如果a = 4，则 a = 3. (2)= . 与(8)互为相反数4.如果 a,b 互为相反数,那么 a + b = ,2a + 2b = .5. a+5 的相反数是 3,那么, a = .6.如果 a 的相反数是最大的负整数,b 的相反数
13、是最小的正整数,则 a + b = .7.一个数的相反数大于它本身,那么,这个数是 .一个数的相反数等于它本身,这个数是 ,一个数的相反数小于它本身,这个数是 . 8. 数轴上表示 -3 的点离开原点的距离是 _个单位长度；数轴上与原点相距 3 个单位长度的点有_个，它们表示的数是_。9. a b 的相反数是 .10. 一个点从数轴上表示-1 的点开始，向右移动 6 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，最后到达的终点所表示的数是 。11. ； ； ；_7.3_0_3.50； ； _31_45_3212当 时， ；当 时，a0a13在数轴上，绝对值为 4，且在原点左边的点表示的有理数为_14
14、. ，则 ； ，则 7x_x7x_x15. 如果 ，则 ， 3a3a16. 已知两个数 和 ，这两个数的相反数的和是_5628317. 已知 是 6 的相反数， 比 的相反数小 2，则 等于_mnmmn18互为相反数两数和为 ，互为倒数两数积为 19把数 ， ， ，0， 用“ ”号从小到大连起来： 5.21320绝对值大于 1 而小于 4 的整数有 个，分别是_21、数轴上，到原点的距离等于 4 个单位长度的点所表示的数是_,它们互为_22、数轴上与距离原点 3 个单位长度的点所表示的负数是_,它与表示数 1 的点的距离为_23、若a=1,则 a=_; 若a=2，则 a=_;如果a=a,那么
15、a=_24、在数轴上，原点及原点左边的点表示的数是_数25、a+3 与1 互为相反数，则 a=_26、a1 的相反数是_,n+1 的相反数是_,a+bc 的相反数是_27、|a|=a 时，a 是_数，当|a|=a 时，a 是_数28、若|X|=2，则 X=_,若|X3|=0，则 X=_，|X3|=6，则 X=_29、如果 a3，则|a3|=_;|3a |=_30、已知|a|=2，|b|=3, ab,则 a+b=_31、|X|/X=1，则 X 是_数，|X|/X=1，则 X 是_数二、选择题1.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 7 个单位长度，这时点所对应的数是
16、( )A.-3 B.-1 C.-2 D.-42.下列几组数中是互为相反数的是 ( )A 和 0.7 B 和 0.333 C (6) 和 6 D 和 0.251713 143.一个数在数轴上所对应的点向左移 6 个单位后,得到它的相反数的点,则这个数是( )A 3 B 3 C 6 D 64.一个数是 7,另一个数比它的相反数大 3.则这两个数的和是 ( )A 3 B 3 C 10 D 115.如果 2(x+3) 与 3(1x)互为相反数,那么 x 的值是 ( )A 8 8 C 9 D 96. 下列说法中正确的是( )A 一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等aC若 则 与 互为相反数
17、D若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数b7. 给出下列说法：互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于本身的数只有正数；不相等的两个数绝对值不相等；绝对值相等的两数一定相等正确的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个8下列说法正确的是 （ ）A整数就是自然数 B0 不是自然数C正数和负数统称为有理数 D0 是整数而不是正数9下列说法正确的是 ( )A.同号两数相加，其和比加数大 B.异号两数相加，其和比两个加数都小C.两数相加，等于它们的绝对值相加D.两个正数相加和为正数，两个负数相加和为负数10.若 ，则 一定是（ ）aa22A、正数 B、负数 C、正数或零 D、负数或零11. 把数
18、轴上表示 2 的点移动 5 个单位后，所得的对应点表示的数是（ ）A7 B-3 C7 或-3 D不能确定12、下列说法正确的是：（）A、非负有理数就是正有理数；B、零表示没有，不是自然数；C、正整数和负整数统称整数 ； D、整数和分数统称为有理数13、零不属于：（）A、有理数集合；B、整数集合；C、非正有理数集合；D、正数集合14、若 a、b 表示有理数，且 a=b，那么在数轴上表示数 a 与数 b 的点到原点的距离（）：A、表示数 a 的点到原点的距离较远；B、表示数 b 的点到原点的距离较远；C、一样远；D、无法比较15、下列说法正确的是：（）A、符号相反的两个数是相反数；B、任何一个负数
19、都小于它的相反数；C、任何一个负数都大于它的相反数；D、0 没有相反数16：如果 X 与 2Y 互为相反数，那么：（）A、X2Y=0；B、X+2Y=0；C、X2Y=0；D、以上答案都不对17、绝对值等于相反数的数一定是：（）A、负数；B、正数；C、负数或零；D、正数和零18、下面四个结论中，正确的是：（）A、|2|3|；B、|2|3|；C、2|3|； D、2|3|19、下列说法：互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于本身的数只有正数，不相当的两个数绝对值不相等；绝对值相等的两数一定相等。其中正确的有：（）A、0 个；B、1 个；C、2 个；D、3 个20、如果|2a|=2a，则 a 的取值范
20、围是：（）A、a0;B、a0;C、a0;D、a021、正整数集合和负整数集合合在一起，构成数的集合是（ ）A. 整数集合； B. 有理数集合； C. 自然数集合 ； D. 非零整数集合22、下列说法中不正确的是：（）A、最小的自然数是 1；B、最大的负整数是1；C、没有最大的正整数；D、没有最小的负整数23、绝对值等于本身的数有：（）A、0 个；B、1 个；C、2 个；D 无数个24如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么：（）A、甲数必定大于乙数；B、甲数必定小于乙数；C、甲、乙两数一定异号；D、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定25、如果|a|=4，|b|=4，那么（）A、ab；B、ab；C
21、、ab；D、|a/b|=126、若 a 的相反数是非负数，则 a 为：（）A、负数；B、负数或零；C、正数；D、正数或零27、下列结论中，正确的是：（）A、|a|一定是正数；B、|a|一定是负数；C、|a|一定是正数；D、|a|一定是非正数28、在数轴上，下面说法中不正确的是：（）A、两个有理数，绝对值大的离原点远；B、两个有理数，大的在右边；C、两个负有理数，大的离原点近；D、两个有理数，大的离原点远29如果 与 2 互为相反数，那么 等于（ ）x1xA1 B C D3330计算 的结果是（ ） （A）0 （B）2 （C）4 （D）4 三、解答题1如果 a 和 b 表示有理数,在什么条件下, a +b 和 a b 互为相反数2如果 a 的相反数是2,且 2x + 3a = 4.求 x 的值.3、3m4 的相反数是11，则求 m2-3m+1 的值。4、写出绝对值大于 3 且不大于 8 的所有整数，并指出其中的最大数和最小数。5、已知|X4|+|Y+2|=0，求 2X|Y|的值。6、若|a|=4,|b|=7，求（1）a+2b 的值；（2） 若 ab0，求|ab|；（3） 若| ab |= ba，求 a2b 的值；（4） 若 ab0，| ab |= ba，求 a2b+1的值
