1、 1 / 6求向量组的秩与最大无关组一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵 A；对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B；阶梯形 B 中非零行的个数即为所求向量组的秩【例 1】 求下列向量组 a =(1, 2, 3, 4)， a2 =( 2, 3, 4, 5)， a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.解 1：以 a ,a ,a 为列向量作成矩阵 A，用初等行变换将 A 化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为 2，所以向量组的
2、秩为 2解 2：以 a ,a ,a 为行向量作成矩阵 A，用初等行变换将 A 化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为 2，所以向量组的秩为 22、求向量组的最大线性无关组的方法方法 1 逐个选录法 给定一个非零向量组 A： 1, 2, n 设 1 0，则 1线性相关，保留 1 加入 2，若 2与 1线性相关，去掉 2； 若 2与 1线性无关，保留 1 ， 2；依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组2 / 6【例 2】求向量组： 的最大无关组123,14,1,TTT解：因为 a1非零，故保留 a1 取 a2， 因为 a1与 a2线性无关，故保留 a1， a2取 a3， 易得 a
3、3=2a1+a2，故 a1， a2 ， a3线性相关。所以最大无关组为 a1， a2方法 2 初等变换法 【定理】 矩阵 A 经初等行变换化为 B，则 B 的列向量组与 A 对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组： 1=(1,2,3)T, 2=(-1,2,0)T, 3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A；对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B； A 中的与 B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组【例 3】求向量组 ： 1=(2,1,3,-1)T, 2=(3,-
4、1,2,0)T, 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解 以 1,2,3,4为列构造矩阵 A, 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： 1234314-13050,20-A -1320知 r(A)=2, 故向量组的最大无关组含 2 个向量 3 / 6而两个非零行的非零首元分别在第 1, 2 列, 故 1,2为向量组的一个最大无关组 事实上， 知 r(1,2)=2, 故 1,2 线性无关120-，为把 3,4用 1,2线性表示, 把 A 变成行最简形矩阵 0-12AB 记矩阵 B=(1, 2, 3,
5、4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量 1,2,3,4与向量 1, 2, 3, 4之间有相同的线性关系。 3 124120,0而因此 3=21-2, 4=-1+22 【例 4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：1,2032,53,630,1,42,175,812.解：以给定向量为列向量作成矩阵 A，用初等行变换将 A 化为阶梯形矩阵 B 再利用初等行变换，将 B 再化成行最简形矩阵 C.4 / 6用最大线性无关组表示其它向量的方法为：把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A；对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B；把阶梯形 B 进行初等行变换化为行最简形矩阵 C；根
6、据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量【例 5】 求向量组 ， ， ， 的秩和一个最大无关组.解： (1) 当 且 时， ，故向量组的秩为 3，且 是一个最大无关组；(2) 当 时， ，故向量组的秩为 3，且 是一个最大无关组；初等矩阵 A, B, C初等变换行作为求秩无关 B 中见线性无关 C 做陪5 / 6(3) 当 时，若 ，则 ，此时向量组的秩为 2，且 是一个最大无关组.若，则 ，此时向量组的秩为 3，且 是一个最大无关组.（2）行向量列变换同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。【例 6】 求向量
7、组 ， ， ， ，的一个最大无关组.解：以给定向量为行向量作成矩阵 A，用初等列变换将 A 化为行最简形: （行向量列变换）由于 的第 1，2，4 个行向量构成的向量组线性无关，故 是向量组的一个最大无关组.方法 3 线性相关法 （了解）若非零向量组 A： 1, 2, n线性无关，则 A 的最大无关组就是 1, 2, n 若非零向量组 A 线性相关，则 A 中必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组()可由向量组()线性表示，则()的秩不超过()的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为 的向量组中任意 个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组【例 7】 设向量组 的秩为 .又设， ，6 / 6求向量组 的秩.解 法 1： 由于 ，且 ，所以，故向量组 与 等价，从而 的秩为 .解法 2： 将 看做列向量，则有，其中 可求得 0，即 可逆，从而 可由 线性表示，由已知 可由 线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.【例 7】设向量组()： 和向量组()： 的秩分别为 和 ，而向量组()：的秩为 .证明： .证： 若 和 中至少有一个为零，显然有 ，结论成立.若 和 都不为零，不妨设向量组()的最大无关组为 ，向量组()的最大无关组为，由于向量组可以由它的最大无关组线性表示，所以向量组()可以由 ，线性表示，故： 的秩
