1、矩阵的基本性质矩阵 的第 第 列的元素为 。我们 或（ ）表 的单位矩阵。 1.矩阵的加减法（1） ,对应元素相加减=（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律： +=+b.结合律： （ +） +=+（ +）c. +0=d. =02.矩阵的数乘（1） ，各元素均乘以常数=（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律： (+)=+b.矩阵对数的分配律： （ +） =+c.结合律： （ ） =()d. 0=03.矩阵的乘法（1） ，左行右列对应元素相乘后求和为 C 的第 行第 列的元素= （2）矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 =b.分配律： （ +） =
2、+c.结合律： （ ） =()d.数乘结合律： （ ） =()4.矩阵的转置 , ()=（1）矩阵的幂： , ,1= 2= +1=()（2）矩阵乘法满足的运算法则a. ()=b. (+)=+c. ()=()d. ()=5.对称矩阵： 即 ；反对称矩阵： 即= = = =（1）设 为（反）对称矩阵，则 仍是（反）对称矩阵。, （2）设 为对称矩阵，则 或 仍是对称矩阵的充要条件 = 。, （3）设 为（反）对称矩阵，则 ， 也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵 ，则 分别是对称矩阵和反对称矩阵且 12(+),12(+).=+（5） ()=6. Hermite 矩阵： 即 ；反 Hermite
3、矩阵， 即= = = =a.=()b. (+)=+c. ()=()d. ()=e. ()=f. （当 矩阵可逆时） ()1=(1) 7.正交矩阵：若 ,则 是正交矩阵= ,()（1） 1=（2） det=1（3） , 8.酉矩阵：若 ,则 是酉矩阵= ,()（1） 1=（2） |det|=1（3） , （4） 9.正规矩阵：若 ,则 是正规矩阵；若 ,则 是实正规矩阵= = 10.矩阵的迹和行列式（1） 为矩阵 的迹； 或 为行列式()=1=1 | ()（2） ；注：矩阵乘法不满足交换律()=()（3） ()=()=()（4） , 为酉矩阵，则= ()=()（5） |+|=|+|（6） |+|
4、=|+|（7） |=|（8） |=|（9） |=|（10） (+)=(+)（11） |=1（12） , ，则 其中 为 奇=logdet(+) = =1log(1+) 异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵 （1）设 由行列式 的代数余子式 所构成的矩阵= | （2） =|12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A 的逆矩阵记作 , ;1 1=1=（2） （ 为非奇矩阵）时，|0 1=1|（3） 且 ，则|0 0 ()1=11（4）由 ，得11= ()1=11（5） ()1=(1)（6）若 |0， |1|=1|（7）若 是非奇上（下）三角矩阵，则 也上（下）三角矩阵 1（8） =(1)（9） (1+1)11=(+)1（10） (+)1=(+)1（11）Woodbury 恒等式 :(+1)1=11(+1)11（12）1=112.对角矩阵，矩阵 为对称矩阵， 正交矩阵，则 为对角矩阵 1=(1,)或 ，则 ;1=(1,)= =11=1=1113.矩阵的导数（1）()=+（2）(1)=11（3）|=(1)（4）()=（5）()=（6）()=（7）()=（8）()=(+)（9）|=(1)
