1、习题三1证明下列问题：（1）若矩阵序列 收敛于 ，则 收敛于 ， 收敛于 ；mATmATmA（2）若方阵级数 收敛，则 .0c00)(Tcc证明：（1）设矩阵 ,21,)(aAnmij则 ,)(njiTm,)(nijm,设 ,)(nijaA则，njiT)(,)(nij若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有mA21,，ijmija)(l则 ， ， ，jimjia)(l ijij)(l n,21,故 收敛于 ， 收敛于 .TmATA(2)设方阵级数 的部分和序列为0mc， ,21mS其中 .mmAccS10若 收敛，设其和为 ，即0mAcS，或 ，Acm0 Smli则.TSli而级数 的部分和即为
2、 ，故级数 收敛，且其和为 ，0)(mTAcTm0)(mTAcTS即.00)(mTTmcAc2.已知方阵序列 收敛于 ，且 ， 都存在，证明：1（1） ；（2） .Amlilim证明：设矩阵 ,21,)(anij ,)(nijaA若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有mAji.ijmij)(l(1) 由于对任意的 ，有njj,21，,li)(kkjmjan,21故 ，n nnj jjjm 2121 )()(2)(li n nnj jjja 21 2121)(而，n nnj mjjjmaA 2121 )()()(,n nnj jjjaA 21 2121)(故.Amli(2) 因为， .nijmA
3、)(1nij)(1其中 ， 分别为矩阵 与 的代数余子式.)(mijij与（1）类似可证明对任意的 ，有nji,21,，ijmijA)(l结合，mli有 ，nijmA)(1li nij)(1即.1li3.设函数矩阵，3201sinco)(tettAt其中 ，计算 .0t ),(,lim0tdtt),(2,Adt)(t解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有（1） ；01lim0li1lisnmlicoslili)(li 3020000 tetttAttttttt（2） ； 2232 30sinco1i)(01)sin()(cos) tetttettdt（3） ；tettttAdtdt
4、6002cos2sin)()()22（4） )(td3201sincotettt )2cos(in)sico(1)cos(isi332 tttttte （5） )(tAd2230initett.)sico(si3co2ttet 4设函数矩阵，032)(2xeAx计算 和 .10)(dxA20)(xdt解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1） 0)(dxA0321010102102dxex；023113)(22e（2） .20)(xdtA)(x0324exx5.设 为 阶常数对称矩阵，,)(,)(,(21TntytyA，证明：AfT)(（1） ；dtytfT（2） .2证
5、明：（1） yAyAtf TTT)( yATT)(，dt（2） .ydtytT2)(26.证明关于迹的下列公式：（1） ；XtrXtrTT)()(（2） ；BdBd（3） .AtrTT)()(其中 .mijmnijnmij aAbBxX)(,)()(证明：（1）因为，injiTTxXtrtr12)()(而，ijminjij xx2)(1故 XtrdXtrdTT)()(（2）因为，nmkjixbB)(1则，njmkjTxXtrt 1)()(而，jinjmkji bxx)(1故.TTBXtrdBtrdX)()(3) 因为 ,212121mnnmTxx mkknmkkmk kknkkk mmmk x
6、axaxaxaAX1121 121212 111 故 )()()()( 1ln111 mlknlmlkjlljmlkllT xaxxaAXtr 则 )()(1mlkjlljijTij xaxtrx )(111 mkjlijlkjlijll xamlljikjixa11故 .XAAXtrdXTTT )()( 7证明：，TTTdbaba)(其中 为向量函数.)(,ba证明：设 TmTm XbXbXaX )(,)(,(),(,)(,() 2121 ，则，miiTXbaXba1)()(故它是 的数量函数，设X，)()(fT有 ),()(21nT xffxbadX mi niiinimi iiii xX
7、babXaXbax11 1 )()(,)( iinimiiiiii xxba1121 )(,)(,)( )(,)(,)( 1121 miniiimii XbaXbaX.TTdbab8.在 中将向量 表示成平面直角坐标系 中的点 ，2Rx),(21 21,xTx),(21分别画出下列不等式决定的向量 全体所对应的几何图形：Tx),(21(1) (2) (3) .,1x，2x解：根据，,21,1212x1,max21作图如下：9.证明对任何 ，总有nCyx,.)(2122yxxT证明：因为yyx TTT )(2 yxyx2故 yxT)(12210.证明：对任意的 ，有nC.12xx证明：设 ，则T
8、nx),(21nnxx 212221,ma由于，221221221 )(),(max nnn x故，212xx即.1211.设 是正实数，证明：对任意 ，na，,21 nTCxX),(21，211niixaX是 中的向量范数.nC证明：因为（1） 且 ；,0211niixaX0X（2） ；Xkxakxakkniiniinii 2112112112（3）对于 ，nTnCyY),(21，TnyxxX),(21则 21212122 )(YXayxaYXniiniiniii 故.YX因此 是 中的向量范数.211niixaXnC12.证明： ijnjiaA,1mx是矩阵 的范数，并且与向量的 1范数是相容的.nijaA)(证明:因为(1) ,且 ;0mx,1ijnji O0(2) ;Akakakijnjiijji,1, x(3) BbbBAijniijjiijijnji ,1,1 max
