1、第 7 章 有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点 1. 线性相位条件对于长度为 的 ，传输函数为N()hn1()0()()Nj jnjgnHeheHe称为幅度特性， 称为相位特性。()gH线性相位是指 是 的线性函数，即 ， 为常数。()()如果 满足： ， 是起始相位。严格地说，此时 不具有线性相位，00 ()但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 ()d也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足 (7.1.4)式为第二类线性相位。满足第一类线性相位的条件是： 是实序列且对 偶对称，即()hn(1)/2N()1)hnN满
2、足第二类线性相位的条件是： 是实序列且对 奇对称，即()()/1)hnN(1) 第一类线性相位条件证明100()()Nn nnnHzzHhz ，令 ，则有1mNn1(1)() (1)0 0() NNmmNHzhzzhzz ，按照上式可以将 H(z)表示为 1(1) (1)01()2220()NNnNnnnnzzHzzh 所以，1()200 1()(cos)2)1(2Njj ngn NHeh 第二类线性相位条件 11001 1(1)()0 0()()()()m=N-n,()NnnNNmmn nHzhzhzzzzz 设同样， 1(1) (1)01220()()NNnNnnNnnHzzHhzzhz1
3、20120 1()()sin)2()sij NjjzenNjjneh 因此，幅度函数和相位函数分别为 101()()si)22NgnHh2.线性相位 FIR 滤波器幅度特性 的特点()gH1) ,N=奇数()1)hnN10cos()2gnH(3)/20(1)/20(1)/20 1()cos()2)scosNgnNgnNn NHhhnma ()112,2,3ahN2) , N 为偶数()hn/21/ 1(cos()2()2,)2NgmnHmbnNh3) ,N=奇数()1)(1)/2sin1(),2NgnHcNch4） ,N=偶数(1/21/()sin()2()2),32NgmnHhmdNh3.
4、线性相位 FIR 滤波器零点分布特点4. 线性相位 FIR 滤波器网络结构设 N 为偶数，则有 11 120021122(1)00()()()()()()(NNnnnnmNNnNmnHzhzzhzzzzh 12(1)0()()NnNnnHzz如果 N 为奇数 (1)2 1(1)20()NnNnnzhzhz 第一类线性滤波器第二类线性滤波器7.2 利用窗函数法设计 FIR 滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为 , 是与其对应的单位脉冲响应。()jdHedhn1()()()2j j jnddddnHehene，,()0jacjdcsin()1()2cjajncd ahned为了构造一个长度为 N
5、的线性相位滤波器，只有将 截取一段，并保证截取的一段对()dhn对称。设截取的一段用 表示，即 (1)/N()hn()NR()2j jjdNHeeRd其中， 和 分别是 和 的傅里叶变换，()jdHe()jNR()dhn()NR111()200si/2()n()jj jnj jaN NnReRe si(/2(),)如果 (j jaddHee1,()0cd()()()(21j jajadNjaeeRedH通过以上分析可知，对 加矩形窗处理后， 和原理想低通 的差别有以下()dhn()H()dH两点：(1)在理想特性不连续点 处附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于 的主c ()NR瓣宽度，即 。
6、4/N(2)通带内增加了波动，最大的峰值在 处。阻带内产生了余振，最大的负峰在2/cc处。2/cc在主瓣附近， 可近似为()NRsin(/)sin()2NxN几种常用的窗函数：1、 矩形窗： ()RWn1()2sin(/()jNjRee2、三角形窗 2,1(),0()1BrNnn其频率响应为 1()2si()4()n/NjjBrNWee3、汉宁(Hanning)窗升余弦窗 1211222()0.51cos()()()0.5().()Hn NjjRNRjHnHn RNj jRHnnWeFTeWee当 N 很大时， 2()0.5().()()HnRRRWN4、哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗
7、 ().406cos()(1mn频域函数 为()jHmWe22()()11()0.54()0.30.3j jj j NNHmRRRjWeeWee当 N1 时，可近似表示为： 22()0.54().3()0.3()BlRRRnNN5、布莱克曼(Blackman)窗 4().2cos.8cos()11Bl nn其频域函数为 22()()11R2()()1()0.40.5 j jj j NNBl R Rj jNWeeWee其幅度函数为 2()0.42().5()()114. 1BlRRRNWN6、凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 2 20 01(), (1)()!kk kI n
8、xnnIxN ， ，用窗函数设计 FIR 滤波器的步骤：（1）根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应 ；如果给出待求滤波器的频响为()dh，那么单位取样响应用下式求出：()jdHe，()2jddhne 210()()MjkjnMdkhnHe根据频率采样定理： ()()Mdrr(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度 。N(3) 计算滤波器的单位取样响应 ，()hndw(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算 10()()Nj jnnHehe例 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计 FIR 低通滤波器，设 .1,02cNrad解 用理想低通作为逼
9、近滤波器，sin()1),0()52.25,()cdhn，用汉宁窗设计 2()(),01()0.51cos)dHnHnnh ，用布莱克曼窗设计 1()()220.45cos0.8cos)(1dBlBlnRn7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器：必须利用计算机进行处理运算1、IIR 与 FIR 数字滤波器的比较IIR 滤波器存在着输出对输入的反馈，因此可以用比 FIR 滤波器少的阶数来满足技术指标，这样，IIR 滤波器所用的存储单元和所需的运算次数都比 FIR 滤波器少。例如用频率抽样法设计阻带衰减为20dB 的 FIR 滤波器，其阶数要 33 阶才能达到要求，而如果用双线性变换法设计一个
10、切比雪夫 IIR 滤波器，只需 4-5 阶就可以达到同样的指标，所以 FIR 滤波器的阶数要高 510 倍。FIR 滤波器可得到严格的线性相位，而 IIR 滤波器则做不到这一点。IIR 滤波器的选频特性越好，则相位的非线性就越严重。如果要求 IIR 滤波器具有线性相位，同时又要求它满足幅度要求，那么就必须用一个全通网络进行相位校正，这必然会大大增加滤波器的节数和复杂性。因此在需要严格线性相位的情况下应该选择 FIR 滤波器。IIR 滤波器必须采用递归结构实现，只有当所有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定的。但实际中由于存在有限字长效应，滤波器有可能变得不稳定。而 FIR 滤波器主要采用非递归结构
11、，因而从理论上以及从实际的有限精度的运算中，都是稳定的。另外，FIR 滤波器可以采用快速傅立叶变换（FFT）来实现，在相同阶数下，运算速度可以快得多。 IIR 滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。FIR 滤波器没有现成的设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表达式。一般，FIR 滤波器的设计只有计算机程序可以利用，因此对计算工具要求较高，要借助计算机来设计。另外，IIR 滤波器主要是设计规格化的、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通、带阻和全通滤波器，而 FIR 滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性较广。
