1、第 3 章 离散傅立叶变换3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT 的定义、DFT 与 Z 变换（ZT ） 、傅里叶变换（FT）的关系及 DFT 的物理含义1、DFT 的定义设 是一个长度为 M 的有限长序列， 则定义 的 N 点离散傅里叶变换为()xn ()xn10()(), k=01, - NnnXkDFTxW的离散傅里叶逆变换为()10()(), n=01, N- NkkxnITxnX，称为旋转因子， 称为 DFT 变换区间的长度，N M2jkkNWe例 ，求 的 8 点和 16 点 DFT 4()xnR()xn设变换区间 N=8， 则273880038()sin,1,7()jk
2、nknNjkXxWee设变换区间 N=16， 则 273880038()()sin4,1,5()6jknknnNjkXxWee2、DFT 与 Z 变换（ZT ） 、傅里叶变换（ FT）的关系设序列 的长度为 N， 其 ZT 和 FT 分别为：()xn1 10 0()(),()()()() 0kN-Nnj jnn nkNXzTxzXeFTxekDFxW 比较上面二式可得关系式22(),0kN-1),jkNzejkXk物理含义：序列 的 的 DFT 的物理意义是对 的频谱 在 上的()xnN()xn()jXe2,0等间隔采样，采样间隔为 ，即对序列频谱的离散化。N2结论：(1):DFT 变换区间长
3、度 不同，变换结果 不同，一旦 确定， 与()kN()k一一对应；()xn（2）当 足够大时， 的包络包络可逼近N|()|Xk()jXe（3） 表示 频率点处的幅度谱线。如果 是一个模拟信号的采样，()XkNk/2(xn采样间隔为 ， ，则 与相应的模拟频率 的关系为TfTkkffkkk2)(FNffsk对于模拟频率而言， 点 DFT 意味着频率采样间隔为 称为频率分辨率，NHZTfss1为表示时域采样的区间长度或记录长度 ，所以，要提高频率分辨率，就必须使记录SNTpT时间 足够大。p3.1.2 DFT 的隐含周期性1、 是以 为周期的， 就以 为周期的。()jXe2)(kXN1()0()(
4、kmNnnNkxWXxmx对于非周期序列，可以通过周期延拓得到， ()()mnNxRn常取主值区间为研究对象：()Nn2、有限 长序列 的 点离散傅里叶变换 也可以定义为 的周期延拓序列N()x)(kX)(nx的离散傅里叶级数系数 的主值区间。()xn例：有限长序列及其周期延拓 3.1 离散傅里叶变换的基本性质)(nx)(kX)()(21nbxay )()(21kbXaY,max21N(RmxNkWmN时移循环移位性质)nWkN )()(RX频域循环移位性质(21x21k卷积定理)* )(*N)(*nNx)(*kX、线性性质 121212()()()max,DFTaxbakbN 和 分别为序列
5、的延拓周期。N22、循环移位性质(1) 序列的循环移位定义：设 为有限长序列，长度为 N， 则 的循环移位定义为()xn()xn()(ymR(2)时域循环移位定理设 是长度为 的有限长序列()xnN()()DFTnkNmRWX 10()(knNnNkYyxmRW令 ，则有nm1()()()NmknmNnkkYxW（3）频域循环移位定理： ()()IDFTnlNNXlRx 3、 循环卷积定理时域循环卷积定理： 1212()()IDFTxnkX 122012121()()()()()()NNmxnxnRxmxnXkDFTnk（1）计算过程 ,0)(,432)(2nxnx111113201()32N
6、xmmRx1211200 12033472031xxy698（2）线性卷积与循环卷积关系：线性卷积转化为循环卷积计算问题： )()(DFTkHXnhx实际需要: LTI 系统响应 *nhxy（a）循环卷积 1,24)(,321)(nxnx121210()08()() 39xx（b）线性卷积 9,43 -6)(*21nx 0,32,10,)(105 x0,124,0)(,1)0()(2252 xnx 12111525 11()(0)4()() 16()() 902()030()xxxxxx 1 12111626 111() 2()4() ()1609()()02()003()2x xxxn x
7、结论: 两序列线性卷积的结果与将两序列周期延拓为线性卷积长度后再进行循环卷积的结果相等。 121121 )()()( MNMNnxnxnx循环卷积的矩阵表示 1 11111 11 111111 100 022 0002340xxxMxxxMMx N 线性卷积的矩阵表示 0010121 03 0201201 221 11111 MxxMxxMxxxxMx频域卷积定理： 1212()()xnXkN 4、对称性 ,0)()* Nnxee 1noo ()()()()DFTDFTreeri ooixXkxXkn 用途： 12()()()()FTeoDFTDe onj kxkxn 3.3 频率域采样 1、
8、频域采样定理如果序列 的长度为 ，只有当频域采样点数 时， 才有()xnMNM()()NxnIDFTXkxn即可由频域采样 恢复原序列 ，否则产生时域混叠现象。 ()Xk2、频域采样的内插函数：频域采样 表示 X(z)的内插公式和内插函数()k。 设序列 的长度为 M， 在频域 02 之间等间隔采样 点， ，则有 ()xn NM21010(),1,()()jkNNnzenkXzxW1010110()NknNnkkknNNkkXzXzzW内插函数： 1()kkNzz10()()NkkXz表示的 的内插公式。()Xk()z表示的 的内插公式。je当 jz(2/)1()jNkke10()()Nj k
9、kXe11()20sin 2() )()(/jjkkN3.4 DFT 的应用1、用 DFT 计算线性卷积将两个序列都补零延拓为 并进行循环卷积时，线性卷积和循环卷积相等12LN可以用 FFT 进行计算。12()()NDFTxnFTxn和21 12* ()()1LLlengthxlengthx1 12()()NNxIDxFT2、长序列计算卷积直接计算的缺点(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多（2）内存要求大（3）算法效率不高解决问题方法：采用分段卷积， 0)()(knx)()kMnRxk00)()(*)(kkkknyxnhhy长序列的线性卷积可以用分段线性卷积进行运算。分段卷积可采用重
10、叠相加法和重叠保留法；设序列 长度为 ， 为无限长序列。将 均匀分段，每段长度取 M， ()hnN()xn()xn重叠相加法：依次将 均匀分段，每段长度取 M，与 线性卷积结果后，结果的相h邻两段的 N-1 个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。例 已知序列 ， ，试分别利用重叠相加和保留法计120,)(nnx 1,2)(h算线性卷积。重叠相加法，取 L=5，6,5432)(1nx ,987)(2x 4,3)(3nx610,*1nhy 1,32406,27)(*22nhy1,5,)(*)(33hxnyyk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 4
11、8, 52, 41, 14重叠保留法(1) 将 长序列分段，每段长度为 L； ()xn(2) 各段序列 与 M 点短序列 循环卷积；k()hn(3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。注意：保留前面的 M-1 个序列，首个序列补 0，最终结果也是舍弃前 M-1 个，取最后的 L个；， ， ，4,320)(1nx 7,6543)(2nx 10,9876)(3nx194,)(5x,27,4)(11nhny ,240,1673)()(1nhxny,362,895)()(33nhxny ,48,017)()(4nhxny1755 ,5,0,24,016,7)(y3、用 DFT 对信号进行谱分析设连续信
12、号 的采样持续时间点数为 ，采样保持时间为 ，信号最高截止频率()axt NpT为 ，信号采样频率为 。cfsf则 、 、N 和 F 满足如下关系式： spT1s pfFTNN， ，在用 DFT 分析信号频谱特性时，在已知信号的最高频率 (即谱分析范围时) ，为了避免在cfDFT 运算中发生频率混叠现象，要求采样速率 满足下式sf2scf谱分辨率 ，信号的观察时间 和 N 可以按照下式进行选择sfFNpT1cpfF，因此， sA例：对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率 F10 Hz，信号最高频率 ，试确定2.5cfkHz最小记录时间 ，最大的采样间隔 ，最少的采样点数 。如果 不变，要求谱minpTmaxTminN分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少? 3max in21 500.21251cc fsNf F，为使频率分辨率提高一倍，F=5 Hz，要求in min.5pNTs，用 DFT 进行谱分析的步骤：（1）对信号进行采样， ；（2）截取有限点进行 DFT 分析scf1pNT4. 用 DFT 进行谱分析的误差问题DFT(实际中用 FFT 计算) 可用来对连续信号和数字信号进行谱分析，误差来源为
