1、第五章 相似矩阵1教学目的和要求：(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3) 简单了解 Jordan 标准形 .2教学重点：(1) 方阵的特征值与特征向量.(2) 矩阵的相似对角化 .3教学难点：矩阵的相似对角化.4本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵 A和向量 X的运算: A.从矩阵上提出的问题是：能否找一个数 和一个非零向量 ,使XA,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形.
2、5教学内容：5.1 方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念在一些应用问题中常会用到一系列的运算: .,2 XAk为了简化运算，希望能找到一个数 和一个非零向量 ，使 ，这样的数 和向量 X就是方阵的特征值与特征向量.定义：对于 n阶方阵 A, 若有数 和向量 0x满足 x, 称 为 的特征值, 称 x为 的属于特征值 的特征向量下面给出特征值与特征向量的求法：特征方程： 0)(xE 或者 0)(xAE)(xA有非零解 det特征矩阵： 或者 A特征多项式： nnnnaaEA 21221121)(det)()1(010naA的特征值与矩阵 又有什么关系呢？定理 1：设 n阶方阵 )(
3、ijA的 个特征值为 n,21 则 (1) nna 2121)(1Atrii称为矩阵 A的迹。(主对角元素之和) (2) nni21例 1 求 20134A的特征值与特征向量例 2，例 3 见书第 136、137 页.2. 特征向量的性质方阵 A关于特征值 i的特征向量是齐次线性方程组 0)(XAIi的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当 21,X是 对应于 i的特征向量时，它们的任何非零线性组合： k仍是关于 i的特征向量。在此，我们重点关注矩阵 的特征向量的线性相关性。定理 2：设 rX,21， 是矩阵 A的不同特征值所对应的特征向量，则 ， 是线性无关的。定理 3：矩阵 A的 s个不同
4、特征值所对应的 s组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。定理 4：设 0是 n阶方阵 的一个 t重特征值，则 0对应的特征向量中线性无关的最大个数 .由以上定理可知，若 A有 个互异的特征值： ,21n 则每个 i仅对应一个线性无关的特征向量，从而 共有 n各线性无关的特征向量。例 4 求 12A的特征值与特征向量解 2)1(5)( 0,5321求 1的特征向量：42EA01行, p)0(1kpx求 32的特征向量：2)(EA01行, 2p, 10332pkx （ 3,k不同时为 0）例 5 设 3的特征值为 3,12, 求 )3(detEA解 设 )(ttf, 则 EAf)(3的特
5、征值为17,21f故 5)(det3EA思考题：设 4 阶方阵 满足条件： ,0det,2,0det AT求 *的一个特征值。(答案： 3)作业：习题册第五章第一节。5.2 矩阵相似对角化1相似矩阵：对于 n阶方阵 A和 B, 若有可逆矩阵 P使得 BA1,称 A相似于 B, 记作 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质：(1) ： E1(2) AB： APB)()(11(3) C,若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢?定理 1: 设 n阶方阵 和 相似，则有(1) ,)(BrA(2) ，)3(和 的特征多项式相同，即 ,BIAI从而 和 的特征值相同。证明：性质(1),(2)
6、显然，下面只证明性质 (3).因为 ,故存在可逆矩阵 P使 ,1BAP于是.)(111 AIIPAIPII 显然，若方阵 与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为 的特征值。例 1：设矩阵 124xA与 45y，求 .,yx解：利用 得到方程 ,0843再利用 )(trt，得到 .1yx有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若 1PBA，则 .1PBAkk2矩阵相似对角形若方阵 能够与一个对角矩阵相似 , 称 可对角化定理 2 n阶方阵 可对角化 A有 n个线性无关的特征向量证 必要性设可逆矩阵 P使得def11n即 AP划分 p1, 则有np1nA 1),2(iii 因为 为可逆矩阵
7、, 所以它的列向量组 p,1 线性无关上式表明： np1 是 的 个线性无关的特征向量充分性设 , 线性无关, 且满足 ),21(niAii , 则 P1为可逆矩阵, 且有nnppAAP 11P即 1注 的主对角元素为 的特征值推论 1 nA有 个互异特征值 A可对角化推论 2 设 的全体互异特征值为 m,21 , 重数依次为 mr,21 ,则 可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值 i, A有 i个线性无关的特征向量例 2 判断下列矩阵可否对角化：(1) 610A, (2) 12A, (3) 20134A解 (1) )3(2)()有 3 个互异特征值 可对角化对应于 ,1的特征向量依次为1
8、p, 421, 93p构造矩阵 1P, 32则有 A1(2) 2)(5)(例 1 求得 有 3 个线性无关的特征向量 A可对角化对应于 1,2的特征向量依次为1p, 02, 3p构造矩阵 1P, 15则有 A1(3) 2)()(, 例 2 求得, 对应于 2 重特征值 132,只有 1 个线性无关的特征向量 A不可对角化例 3 设 12A, 求 ),32(kA解 例 4 求得 0P, 15, 使得A1： 1PAk故 213)1(50kkkk255231kkkkkk（ k)(）思考题：设,324A求 .10A(答案: 101025)作业：习题册第五章第二节。5.3 Jordan 标准形 从上节我
9、们看到，不是每个方阵都能相似于对角阵的，当矩阵不能相似于对角阵时，总是希望能找到形式尽可能简单一些的矩阵，使任何方阵都能相似于这种矩阵。这就是这一节将要介绍的 Jordan 矩阵。在此，我们只介绍 Jordan 矩阵和方阵相似于Jordan 矩阵的一种求法。1 Jordan 矩阵：形如 rJ1)(的 r阶方阵称为一个 r阶 Jordan 块。称主对角线子块为 Jordan 块 )(iJ的准对角矩阵为 Jordan 矩阵。定理 1：在复数域上，每个 n阶方阵 A都相似于一个 Jordan 矩阵 J，即存在可逆矩阵 P，使得知道了什么是 Jordan 矩阵后，现在的问题是如何求 Jordan 标准
10、形。Jordan 标准形: 当矩阵 A与 Jordan 矩阵 J 相似时，就说 J 是 A的 Jordan标准形，并记为 A.若矩阵能相似对角化，对角矩阵就是其 Jordan 标准形。求 n阶方阵 A的 Jordan 矩阵 J 和可逆矩阵 P的方法如下：(1)求 的特征多项式互异，从而 i是 A的 ik重特征值，由此确定 )(iA)()()21mJJJ .)()()(211 mJJJA ,)()()(21 skkkI s,1阶数为 ik.(2)由 0)(XIAi求 A的 it个线性无关的特征向量由此确定 (i中有 i个 Jordan 块 )(ijJ.(3)若 ,iikt则在 i对应的特征向量集
11、合 it,21 中适当选取特征向量 1i，求 Jordan 链 ,21jini 确定 Jordan 块iij tJ,2),(，特别地，长度为 1 的 Jordan 链即为一个特征向量，它对应一阶 Jordan 块 ).(i(4)以 i对应的 it条 Jordan 链为列构成矩阵 iP，即 i位含 ik个列的矩阵，而且则 满足，即例 1 设求变换矩阵 P和 Jordan 矩阵 AJ，使 .1AJP解 由 0)2(1AI得， ,2,32所以,21it ,2,1)()()()(21 siApJJPAiitiiii sp21 ,)()(1AsPJAP.1AJ21367,)(21AJA)(iA是主对角元素为 i的 Jordan 矩阵。由 1是单根，得 1，从 0)(XIA，求得一个特征向量 T1,2，当 232时，由 2，即解得只有一个线性无光的特征向量 T1,2从而 )2(A只含一个 Jordan 块，即 求解,1)2(IA取 T0,21，得到一个广义特征向量,01221 P ,0134725X01)(2A.2AJ
