1、因式分解的一点补充十字相乘法一、学习目标 1使学生掌握运用十字相乘法把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式因式分解；2进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。二、学习重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是 1 的二次三项式因式分解。三、学习难点：灵活运用十字相乘法因分解式。四、自主学习：（一）导入新课关于 x2+（p+q）x+pq 这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是 x2+（p+q ）x+pq=（x+p）(x+q).课前练习：下列各式因式分解1- x 2+2 x+15 2 （x+y） 2-8（x+y）+12 3x 4-7x2+18 4x 2-5xy+6y2对于二次项系数不是
2、1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式因式分解。（二） 、探究：例 1 把 2x2-7x+3 因式分解。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）： 2=12=21；分解常数项： 3=13=31=（-3 ）（-1）=（-1）（-3 ） 。用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 3 2 1 2 -3 2 -113+21 11+23 1（-3 ）+2（-1） 1（-
3、1）+2 （-3 ）=5 =7 = -5 =-7经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。解 2x2-7x+3=（ x-3） （2x-1） 。归纳：一般地，对于二次三项式 ax2+bx+c（a0） ，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a 2， c1，c 2 排列如下：a1 c1a2 c2a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次项系数 b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解
4、为两个因式 a1x+c1 与 a2x+c2 之积，即ax2+bx+c=（a 1x+c1） （a 2x+c2） 。像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。例 2 把 6x2-7x-5 分解因式。例 3 把 5x2+6xy-8y2 分解因式。例 4 把（x-y） （2x-2y-3）-2 分解因式。（三） 、课堂练习1用十字相乘法因式分解：（1）2x 2-5x-12； （2）3x 2-5x-2； （3）6x 2-13x+5；（4）7x 2-19x-6； （5）12x 2-13x+3； （6）4x 2+24x+27。2把下列各式因式分解：（1）6x
5、2-13x+6y2； （2）8x 2y2+6xy-35；（3）18x 2-21xy+5y2； （4）2（a+b） 2+（a+b） （a-b）-6（a-b ） 2。（四） 、小结1用十字相乘法把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：a1 c1在式子 中，竖向的两个数必须满足关系 a1a2=a，c 1c2=c；在上式中，斜a2 c2向的两个数必须满足关系 a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。 ”（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a 1 是第一个因式中的一次项系数，c 1
6、是常数项；在下一行的两个数中，a 2 是第二个因式中的一次项的系数，c 2 是常数项。（3）二次项系数 a 一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数） ，只需把经分解在两个正的因数。2形如 x2+px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。3凡是可用代换的方法转化为二次三项式 ax2+bx+c 的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例 4。（五） 、作业1用十字相乘法分解因式：（1）2x 2+3x+1； （2）2y 2+y-6； （3）6x 2-13x+6； （4）3a 2-7a-6；（5）6x 2-11xy+3y2； （6）4m 2+8mn+
7、3n2； （7）10x 2-21xy+2y2； （8）8m 2-22mn+15n2。2把下列各式分解因式：（1）4n 2+4n-15； （2）6a 2+a-35； （3）5x 2-8x-13；（4）4x 2+15x+9； （5）15x 2+x-2； （6）6y 2+19y+10；（7）20-9y-20y 2； （8）7（x-1） 2+4（x-1） （y+2）-20（y+2 ） 2。十字相乘法因式分解练习题1、 2、32x 67x3、 4、14 155、 6、862x 3)(4)(2ba7、 8、y 2348xx9、 10、342x 107211、 12、1y 6q13、 14、 20x 82m
8、15、 16、 365pt17、 18、24x 72ax19、 20、219ba 218y21、 22、265xyx 4323、 24、03 72x25、 26、762x 2865y27、 28、 7152x 4832a29、 30、 6 105b31、 2203yxab32、 2495yx33、 34、12n 3562l35、 36、20yx 218nm37、 6)5)(3(238、 241xx答案：1、 2、 3、 4、)(x)6(1x)7(x)5(3x5、 6、 7、)4(22 ba2y8、 9、 10、 11、7(x)(x)5(a)4(12、 13、 14、 15、)2q549m9p16、 17、 18、 19、(t )(22x)8(1x)7(2ba20、 21、 22、)9yx61y6a23、 24、 25、53)(2)2(3x)53(x26、 27、 28、)4yx7229、 30、 31、)( )5(ab)(xyab32、 33、 34、)3212xxy nm73(5l35、 36、)(04(nm37、 38、)542)8)(2x
