1、1绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析【内容摘要】：三种模型弹力产生的机理不同，不同物理场景下力和运动情况的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为“拐点“ 突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。【关键词】：临界、突变绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在解决力和运动，尤其在曲线运动问题中经常出现，由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动，关于临界和突变问题成为失分较大的考点，因此历年成为频繁出现的热点。而问题的症结是：不太清楚这三种模型弹力产生的机理；不清晰物理过程的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为“ 拐点 “突变点的分析；以及临界状态对应的
2、临界条件，故而成为学习中的一个障碍。结合复习实际，总结如下：一、产生的机理：、形变的分类和弹力产生的机理：物体在外力作用下的形变可分为：拉伸、压缩形变、剪切形变、扭转和弯曲形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸压缩和剪切形变拉伸压缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截面垂直距离之比来描述称为剪切形变；弯曲形变：以中性层为界，越近上缘发生压缩形变的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大，中性层无贡献，实际应用中典型的就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的工字钢空心钢管等构件既安全又节省材料；扭转形变实质上是由剪切形变组成，内
3、外层剪切应变不同，因此应力也不同。靠外层应力较大，抵抗扭转形变的作用主要由外层承担，靠近中心轴线的材料几乎不大起作用，工业中的空心柱体就是典型的应用。、区别：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细绳受到的外力和自身的运动状态。由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生突变，将此点称为“拐点” ；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的产生是由于外力作用下而引起的形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面方向上的弹力，取决于外力作用的情况。以上模型均不
4、计自身的重力而引起的形变。二、问题归类解析（一）：平衡态发生在瞬时突变时的问题1：弹簧与细绳模型如图 1 所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为 的小球，平衡时细线是水m平的，弹簧与竖直方向的夹角是 ，若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？将弹簧改为细绳，剪断的瞬间 上张力如何变化？BO解析：绳未断时处于平衡态，即 mgtTmgTABBA 解 得 coscosin剪断 的瞬间， 瞬时消失，但弹簧上的形变没有改变，所以O弹力 不变，则 和 的合力与 相平衡 ，即： BBA AATmgT22)(2换为细绳，张力随外界条件的变化发生瞬时突变，如图 2 所示，OB则沿绳 方向瞬态平衡 ；重力的
5、分力 使物体向最低cos1mgFTBF位置运动，即： 从而使物体沿圆周运动，遵循机22sinag械能守恒定律： coB：细绳和杆的平衡类问题：例 2：如图 3 所示：一块长木板长为 ， ，距 端 处由一个固定的轴m12NG0Am3， o（1）：若另一端 用轻绳拉住，使木板呈水平状态，绳和木板的夹角 ，轻绳能承0受的最大拉力 ，如果一个重为 的人在该木板上行走，求活动范围为多少？N0W6（2）：若其它条件都不变， 端用轻杆拉住，且轻杆承受的最大拉力也为 ，求B N2人的活动范围是多少？解析：从 向 行走，人对地板的压力和板自身的重力产生的力矩O与绳拉力产生的力矩相平衡，设人距 端为 ，Ax代入数
6、据解得：03sin)2(TABGMX mx5.0向 运动，在 之间，临界状态是绳中张力为零，即：mxWx 1)(22 解 得 ：人的活动范围 点右侧 ，左侧O5.0换成细杆，人向 点运动和绳相同，向左侧运动有别与绳模型，因为杆可提供斜向下B的压力，从而使人的活动范围增加： xTAGmx 5.23sin)2( 303 解 得 ：人的活动范围 点右侧 , 左侧5.m.（二）绳、杆模型在曲线运动中的应用受思维定势的影响，解决力和运动问题时，往往是已知受力情况解决运动状态，但杆模型的自身的特点，决定由运动状态判断物体的受力情况，从而判断出弹力的方向。例 3：如图 4 所示，杆 和 相结于 处，夹角为
7、， 竖直放置，杆 的ABCA03ABAC端连接一个质量为 的小球， 点到球心的距离 ，现以CKg1 mL8.为轴 匀速转动，求：杆 受到的弹力？ABsrad5解析：球 以 为圆心， 为半径做匀速圆周运动（弹力 TOsinLr是否沿杆取决于运动状态） NrF102合竖直方向上弹力 的分力与 相平衡，则： 转化为已Tmg 210)(2合FmgT知合力 和一分力 求另一分力的问题， 与竖直方向的夹角 ，张力不再沿轻nma 43杆。引申：1：求 为何值时，弹力沿此杆？2：换用细绳，夹角为 时 为多大？045此问题的关键是：转动半径由杆长和杆与轴之间的夹角确定，弹力随运动状态而发生变化，绳模型的运动平面
8、和半径及其与轴之间的夹角由运动状态而决定。原型启发是：如图 5 所示，小车上固定一个弯成 角的轻杆，杆的另一端固定一个质量为 的小球，试分析下列状态下杆上的弹力？m(1)、小车静止或向右匀速直线运动？(2)、小车以加速度 水平向右运动？a解析：球处与平衡态，则： ；弹力与竖直方向的夹角为 ，gT则：gamFtgamamaF 合合 ； ； 222)(即弹力随加速度的变化而发生改变。、绳模型在匀速圆周运动中的应用：根据实际物理场景，分为约束与非约束两类问题：思路：根据运动状态确定受力情况；技巧：首先三个确定（确定轨道平面、圆心、圆周半径） ，其次分析向心力的来源；解决问题的关键：确定临界状态，分析
9、临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研究已知状态所处的运动范围，从而分析受力情况。典型的问题就是圆锥摆，即： 受到约束， 受到 3 个力： ；0v ;TmgN、处于临界状态，受到 2 个力：、飘离圆锥体，受到： ，在新的运动状态下与轴向的夹角发生改变0vgT、例 5、长为 的绳子，下端连接质量为 的小球，上端悬于天花L板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的夹角成 ，此时小球静06止于光滑的水平桌面上，当小球以下列情况下做圆锥摆运动时，求绳子上的弹力 和对桌面的压力 ？TN（1）： 做圆锥摆运动;（2）： 做圆锥摆运动；lglg4解析：初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上的作用力 ；当球以 为圆心，
10、mgN1o以 为半径在光滑地板上做圆周运动时，受 作用，设角速度为 时地sinLr Tg、 0面对球的弹力 ，则：0NlrmTg2sinco020 解 得 ： 4(1) 受力如图所示 解得04lg rmFTgNn2sicomgTN ；43（2）： 球将飘离桌面做匀速圆周运动，设与轴线的夹角为 ，受力0l 如图所示： （区别于杆模型是半径不变） 解 得 ： gTrmFTgn 4sico2引申练习：1、长为 的轻绳，两端分别固定于一根竖直棒上，相l距为 的 两点，一个质量为 的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒lAB以一定的角速度转动时，圆环以 为圆心在水平面内做匀速圆周运动，B求此绳上的弹力？（解析
11、：设半径为 ，r， 则 ： 解 得 ： 022 374)( llrl 解得：） （） （ 2sin1co2rmTFgn lgmgT3845 ； 此题的关键是圆环与绳光滑相套连接，随运动状态的不同，而使运动的平面、圆心、半径而发生变化，如图所示的场景是特定条件下的临界情况。 2、两绳系一个 的小球，两绳另两端分别固定于轴上 两处，上面绳长kg1.0 AB，两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是 问球的角速度在ml ,4530什么范围内两绳始终张紧？当角速度为 时，上下两绳的拉力分srad别为多少？（解析：半径不变时，临界条件是 刚好拉直，张力为零，BC上的张力的分力提供向心力， 最小； 刚好拉直，张力
12、为零，ACA上的张力的分力提供向心力， 最大。 ）B、绳、杆模型在非匀速圆周运动中的应用：运动学特征： 的大小随位置而发生改变， 包括 两部分， 合不再指向圆心；van和 合a动力学特征： 包括两部分： ，合外力不再指向圆心，弹力不做功，整个过合FFn和程遵循机械能守恒定律；依据运动情况分为临界极值和突变两类问题：（） 、临界极值问题：物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情况。A、没有物体支撑的圆周运动，有绳模型和沿光滑内轨道运动的两类场景：本质上都是自身的重力和指向圆心的弹力之和提供向心力，如图 9 所示：临界条件： 解得： 称为维持圆周运动的临界速度；Rm
13、vgFn20Rgv05讨论： ，绳和光滑轨道内侧提供指向圆心，沿径向里的弹RmvgTFvn20 力；vvn200 弹 力 为 零 无法到达最高处，未到之前就开始做斜上抛运动。0B、有物体支撑的非匀速圆周运动：典型问题是：杆和沿光滑弯管内部运动的模型：如图 10 所示：由于硬杆和弯管内壁的支撑，最高处的临界速度可以为 ，处于亚稳0平衡，受到空气的扰动，便会偏离平衡位置，由于机械能守恒，仍能做完整的圆周运动，球在 的条件下仍能到达最高点的原因是发生了扭转形变，弹性势能向球的动能转化，0v讨论： NmgFn0； mgRvvn 0020； ； F200 Ngn沿径向向里，挤压外壁或拉伸细杆。RvTmv
14、n20 例 6、把一内壁光滑的细钢管弯成 圆弧形状，竖直放置，一个小球从管口的正上43方 处自由下落，小球恰好到达弯管的管口 处；若小球从 处自由下落，则它能从管口1h c2h的 运动到 ，又飞回管口 ，求：ACA21h解析：在整个过程中机械能守恒，取过管口 和圆心 的平面为AO零势能面，由于小球恰能到达 处，速度刚好为 ，C0，小球从 到 过程中，做平抛运动，RhmgRh11 则 ：2:0gtytvsx ；机械能守恒 5:4:121hmvhc 解 得 ：例 7、如图 12 所示，水平光滑绝缘轨道 与半径为 的光滑绝缘轨道 平滑连ABRBCD接，匀强电场的场强为 ，方向水平向左，一个质量为 的
15、带电滑块所受的电场力等与重Em力，在 点由静止释放，它能沿圆轨道运动到与圆心等高的A点，D6求 至少多长方能满足条件？AB分析：原型启发：绳模型；关键：等效重力场中的最高点；隐含条件； 最短，意味着带点体到达等效最高点时，对轨道的压力恰好为 ，向o心力由等效重力来提供。解：在轨道圆心处做 与 的合力，对角线的反向延长线与轨道相交于 处，则mgqE P点为等效重力场的最高点，由题意分析可得： P )1()(22RmvqEgFpnqEg(2) 由动能定理可得：gp)4(02)sin1(sin pAB mvgRqE联立解得： AB3min（） 、突变问题：在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，
16、从而引起运动和受力在短时间内发生急剧的变化，物理学上称之为突变问题。在突变过程中往往伴随着能量的转移或损耗，绳模型在沿径向张紧瞬间，将其方向上的能量损耗掉；杆模型往往将其能量发生转移。例 8、轻杆长为 L，一端用光滑轴 固定，另一端系一个可视为质点，质量为 的小o m球，把小球拉至图 13 所示的位置，无初速度地自由释放到最低处 的过程中，小球做什B么运动？到最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力为多少？解析：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分，只有重力做功，故而机械能守恒，选取最低处为零势能面，则： (2)l
17、mvgTmvgl 2121)sin1( ） （，)sin3(i2gT即只有重力势能向动能的转化，无能量损耗。绳连接时，球由 到 做自由落体运动，设 处的速度为ACC，且方向竖直向下，选取 点为零能面， 关于水平线cv A、对称： (3) 所以在 处 按图示的方向分解，在绳猛然拉紧的瞬间，2sin2cmvglcv将径向的动能 损耗掉，由 到 的过程中，只有重力做功，机械能守恒，选取 点为CB B零能面则： )3(cos)2(1)sin(21 1 vmvgLmv 7解得： 则mgTlmvgTglvBB 5.325/2/ 解 得 ： 处是绳子张紧的突变点。C练习：1、如图 14 所示，长为 2 米不
18、可伸长的轻绳，一端系于固定点 ，另一端系一个质量为 的小球，将小球og10从 点正下方 处水平向右抛出，经一段时间绳被拉直，mh4.0拉直时绳与竖直方向的夹角成 ，以后小球以 点为悬点，053o在竖直平面内摆动，试求在绳被拉直的过程中，沿绳方向上的合力给小球的冲量？()8.53sin6.053cos0 ；解析：球先做平抛运动，则： smvstgthltvlyx 84.021cos;i 000 ； 解 得 ： 从 开始向最低点做圆周运动，vmgsv yxyy 722； 解 得 ： A把 沿径向和圆弧的切向分解为： ；径向的动量为 0，且：21和 nNsvtF76.02合2、带电小球用绝缘轻绳悬挂
19、在匀强电场中，电场强度为 ，且 ，将小球拉Emgq到图示的位置自由释放， ,求到达最低点时的速度？06关键：（1）清楚各物理过程，以及运动的特点和遵循的物理规律，由 到 ，做初AC速度为 0 的匀加速直线运动，即： (1) gma2glasvlscAC22按图示的方向分解， 能量损耗掉。cv 221vv， 则 ：、21 cos)sin( BqELmgL因此，区别各模型的特点，分析发生的物理过程，依据不同的物理场景，把握其运动状态，分析其临界状态下的条件或突变问题中的“拐点” ，弄清变化和不变的物理量，这是解决此类问题的关键。参考书目：力学基础漆安慎 杜婵英 人民教育出版社 物理思维方法论 阎金铎
