1、1一、填空题1.(2016浙江卷改编)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，且直线 m，n 满足 m ，n，给出下列结论：ml；mn；nl；m n.则上述结论正确的是_( 填序号).解析 由已知，l，l ，又n，nl，正确.答案 2.(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析 设新的底面半径为 r，由题意得 r24r 28 5242 28，解得 r .13 13 7答案 73.(2017苏北四市调研)已知圆锥的母线长为 10 c
2、m，侧面积为 60 cm2，则此圆锥的体积为_cm3.解析 设圆锥底面圆的半径为 r，母线为 l，则侧面积 rl10r60，解得 r6，则高h 8 ，则此圆锥的体积为 r2h 36896.l2 r213 13答案 964.如图所示，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，E，F 分别是 AC，PC 的中点，PA2，AB1，则三棱锥 CPED 的体积为_.解析 PA平面 ABCD，PA 是三棱锥 PCED 的高，PA2.ABCD 是正方形，E 是 AC 的中点，CED 是等腰直角三角形.2AB1，故 CEED ，22SCED CEED .12 12 22 22 14故 VCPEDV PCED S
3、CEDPA 2 .13 1314 16答案 165.(2017全国卷改编)如图，在下列四个正方体中， A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 平行的有_( 填序号).解析 法一 对于，如图(1)所示，连接 CD，因为 AB CD，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以 ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ 平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证，中均有 AB平面 MNQ.因此只有 不正确.图(1) 图(2)法二 对于，其中 O 为 BC 的中点(如图(2) 所示)，连接 OQ，则 OQAB，因为 OQ 与平面 M
4、NQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行.验证知只有不正确.答案 6.(2017无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120且面积为 3 的扇形，则该圆锥的体积等于_.解析 设圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，则侧面展开图扇形的面积为 l2 3 ，l3，弧长为12 2332r l2，故 r1，则该圆锥的高为 h 2 ，体积为 r2h .23 l2 r2 2 13 223答案 2237.设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S 1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2，S 2，若 ，则 的值为_.V1V2 3 S
5、1S2解析 棱长为 a 的正方体的体积 V1a 3，表面积 S16a 2，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积V2 r3，侧面积 S2 r2，则 ，则 ar，所以 .13 2 V1V2 a313r3 3 S1S2 6a22r2 32答案 328.如图，在圆锥 VO 中，O 为底面圆心，半径 OAOB ，且 OAVO 1，则 O 到平面 VAB 的距离为_.解析 由题意可得三棱锥 VAOB 的体积为 V 三棱锥 VAOB SAOBVO .VAB 是边长为 的等边三13 16 2角形，其面积为 ( )2 ，设点 O 到平面 VAB 的距离为 h，则 V 三棱锥 OVAB SVABh hV 三棱34
6、2 32 13 13 32锥 V AOB ，解得 h ，即点 O 到平面 VAB 的距离是 .16 33 33答案 33二、解答题9.(2014江苏卷)如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点.已知PA AC，PA 6，BC8，DF5.求证：(1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.证明 (1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA .4又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E， F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6 ，BC8，所以DEPA ，DE PA3，E
7、F BC4.12 12又因为 DF5，故 DF2DE 2EF 2，所以DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC .因为 ACEFE ，AC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.10.(2017扬州中学期中)如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 A1ABB1 是菱形，且垂直于底面 ABC，A 1AB60，E，F 分别是 AB1，BC 的中点.(1)求证：直线 EF平面 A1ACC1；(2)在线段 AB 上确定一点 G，使平面 EFG平面 ABC，并给出证 明.(1)证明 连接 A1C，A 1
8、E.侧面 A1ABB1 是菱形，E 是 AB1 的中点，E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC 的中点，EF A 1C.A 1C平面 A1ACC1，EF 平面 A1ACC1，直线 EF平面 A1ACC1.(2)解 当 时，平面 EFG平面 ABC，BGGA 13证明如下：连接 EG，FG.侧面 A1ABB1 是菱形，且A 1AB60 ，A 1AB 是等边三角形 .E 是 A1B 的中点， ，EGAB.BGGA 13平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABCAB，EG平面 ABC.又 EG平面 EFG，平面 EFG平面 ABC.11.如图，在四棱锥 PABCD 中，AB
9、CD，ABAD，CD2AB ，平面 PAD底面ABCD， PAAD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证：5(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明 (1)因为平面 PAD平面 ABCDAD .又平面 PAD平面 ABCD，且 PAAD .所以 PA底面 ABCD.(2)因为 ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，所以 ABDE ，且 ABDE.所以 ABED 为平行四边形 .所以 BEAD .又因为 BE平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BE平面 PAD.(3)因为 ABAD，且四边形 ABED 为平行四边形.所以 BECD，ADCD.由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PACD.又因为 PAADA ，所以 CD平面 PAD，从而 CDPD，且 CD平面 PCD，又 E，F 分别是 CD 和 CP 的中点，所以 EFPD ，故 CDEF .由 EF，BE 在平面 BEF 内，且 EFBEE，所以 CD平面 BEF.又 CD平面 PCD，所以平面 BEF平面 PCD.
