1、Holder 不等式与 Minkowski 不等式的证明赫德(Holder) 不等式是通过 Young 不等式来证明的 ,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder) 不等式来证明的.Young 不等式如果 x,y0 ,实数 p1 以及实数 q 满足 1 p +1 q =1 ,那么有1 p x p +1 q y q xy Young 不等式的证明证明: 注意到 1 p +1 q =1 ,所以(x y q1 ) p =x p y q ,于是原不等式两边同时除以 y q ,再令 t=x y q1 ,显然 t0 原不等式等价为1 p t p +1 q t 令 f(t)=1 p
2、t p +1 q t ,求导得 f (t)=t p1 1 因为 p1 ,所以 f (t)=t p1 1 在(0,1 上递减,在(1,+) 上递增,所以 f(t) 的最小值在 t=1 时取到,即f(t)f(1)=1 p +1 q 1=0,t0 于是,Young 不等式得证,等号成立条件 x=y q1 .赫德不等式(Holder)如果 a 1 ,a 2 ,a n ,b 1 ,b 2 ,b n 都是非负实数,实数 p1 以及实数 q 满足1 p +1 q =1 ,那么有( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n b q i ) 1 q i=1 n a i b i 赫德不等式的证明证明:记
3、 S=( i=1 n a p i ) 1 p ,T=( i=1 n b q i ) 1 q , 那么我们有S p = i=1 n a p i ,T q = i=1 n b q i 由此得 i=1 n a p i S p =1, i=1 n b q i T q =1 对于给定的 i1,2,n ,利用 Young 不等式,可得a i b i ST 1 p a p i S p +1 q b q i T q 将 i 取遍 1,2,n 并求和 ,得到 i=1 n a i b i ST 1 p i=1 n a p i S p +1 q i=1 n b q i T q =1 p +1 q =1 即得 i=1
4、 n a i b i ST=( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n b q i ) 1 q 闵可夫斯基不等式(Minkowski)如果 a 1 ,a 2 ,a n ,b 1 ,b 2 ,b n 都是非负实数且实数 p1 ,那么有( i=1 n a p i ) 1 p +( i=1 n b p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 1 p 闵可夫斯基不等式的证明证明:令正实数 q 满足 1 p +1 q =1 ,由 Holder 不等式 ,我们有 i=1 n a i (a i +b i ) p1 ( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n (
5、a i +b i ) (p1)q ) 1 q 注意到 1 p +1 q =1 ,可得 q(p1)=p ,于是由上面的不等式得 i=1 n a i (a i +b i ) p1 ( i=1 n a p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 11 p 同理可得 i=1 n b i (a i +b i ) p1 ( i=1 n b p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 11 p 两不等式相加,即得 i=1 n (a i +b i ) p ( i=1 n a p i ) 1 p +( i=1 n b p i ) 1 p )( i=1 n (a i +b i ) p ) 11 p 两边同时除以( i=1 n (a i +b i ) p ) 11 p ,便得( i=1 n a p i ) 1 p +( i=1 n b p i ) 1 p ( i=1 n (a i +b i ) p ) 1 p
