1、轨迹方程求法及经典例题汇总一、轨迹为圆的例题：1、 必修 2 课本 P124B 组 2：长为 2a 的线段的两个端点在 轴和 轴上移动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程：xy必修 2 课本 P124B 组：已知 M 与两个定点（0,0） ，A（3,0）的距离之比为 ，求点 M 的轨迹方程; （一般地：必修 221课本 P144B 组 2：已知点 M( , )与两个定点 的距离之比为一个常数 ；讨论点 M( , )的轨迹方程（分xy21, mxy=1，与 1 进行讨论）m2、 必修 2 课本 P122 例 5：线段 AB 的端点 B 的坐标是（ 4,3） ，端点 A 在圆上运动，求 AB 的
2、中点 M 的轨迹。1)(yx（2013 新课标 2卷文 20）在平面直角坐标系 中，已知圆 在 轴上截得线段xOyPx长为 ，在 轴上截得线段长为 。 （1）求圆心的 的轨迹方程；y32（2）若 点到直线 的距离为 ，求圆 的方程。Px如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中， |AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在 RtOAR 中， |AR|2=|AO|2|OR |2=36( x2+y2)又
3、|AR|=|PR|= 所以有2)4(yx(x4) 2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设 Q(x,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,代入方程 x2+y24x10=0,得20,41y10=0 整理得：x 2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.2424(在平面直角坐标系 中，点 ，直线 设圆 的半径为 ，圆心在 上 （1）若圆心 也在xOy)3,0(A4:xlC1lC直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；1yC（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标
4、 的取值范围CMO2a（2013 陕西卷理 20）已知动圆过定点 ，且在 轴上截得弦 的长为 8.)0,4(AyMN（1） 求动圆圆心的轨迹 的方程；（2） 已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与轨迹 交于不同的两点 ，若 轴是 的角平分线，证)0,1(BxlCQP,xPBM BA明直线 过定点。l二、 椭圆类型：3、 定义法：（选修 2-1P50 第 3 题）点 M( , )与定点 F(2，0) 的距离和它到定直线 的距离之比为 ，求点xy 8x21M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义 )讨论：当这个比例常数不是小于 1，而是大于 1，或等于 1 是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、 圆锥曲线第
5、一定义：（选修 2-1P50 第 2 题）一个动圆与圆外切，同时与圆 内切，求0562xy 0916xy动圆的圆心轨迹方程。5、 圆锥曲线第一定义：点 M( )圆 上的一个动点, 点0,yx1F9)(2yx（1,0）为定点。线段 的垂直平分线与 相交于点 Q( , ),求点2F2M1xyQ 的轨迹方程;(注意点 （1,0 ）在圆内)6、 其他形式：（选修 2-1P50 例 3）设点 A,B 的坐标分别是（-5,0） ， （5,0） ，直线 AM,BM 相交于点 M，且他们的斜率的乘积为 ，求点 M 的轨迹方程:（是一个椭圆）94（讨论当他们的斜率的乘积为 时可以得到双曲线）（2013 新课标
6、1卷 20）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内:1)(2yx:N9)1(2yxPMN切，圆心 的轨迹为曲线 。 （1）求 的方程； （2） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于PCl lC两点，当圆 的半径最长时，求BA, AB（2013 陕西卷文 20）已知动点 到直线 的距离是它到点 的距离的 倍。),(yxM4:xl )0,1(N2（1）求动点 的轨迹 的方程C（2）过点 的直线 与轨迹 交于 两点，若 是 的中点，求直线 的斜率。)3,0(PmBA,PBmQF1 F2MMF1 F2三、 双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点 M( )圆 上的一个动点, 0,yx1F1
7、)(2yx点 （1,0）为定点。线段 的垂直平分线与 相交于点 Q( , ),求点2F2MxyQ 的轨迹方程;(注意点 （1,0 ）在圆外)F定义法：（选修 2-1P59 例 5）点 M( , )与定点 F(5，0)的距离和它到定直线 的距离之比为 ，求点 M 的轨迹xy 516x45方程.(圆锥曲线第二定义)四、 抛物线类型：10、定义法：（选修 2-1）点 M( , )与定点 F(2，0)的距离和它到定直线 的距离相等，xy 2x求点 M 的轨迹方程。 （或：点 M( , )与定点 F(2，0) 的距离比它到定直线 的距离小 1，求点 M 的轨xy 3x迹方程。 ）（2013 陕西卷文 2
8、0）已知动点 到直线 的距离是它到点 的距离的 倍。 （1）求动点 的,(4:l )0,1(N轨迹 的方程C（2）过点 的直线 与轨迹 交于 两点，若 是 的中点，求直线 的斜率)3,0(PmCBA,PBm已知三点 ， ， ，曲线 上任意一点 满足O(2,1)A(,)(,)Mxy。|MABB（1）求曲线 的方程；C）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的点均在 C2：（x-5） 2y 2=9 外，且对 C1 上任意一点 M，M 到直线 x=2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值 .（）求曲线 C1 的方程；（湖北）设A是单位圆x 2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线
9、，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0,且m1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆 ： ，a，b 为0C21(0xyab 常数)，动圆， 。点 分别为 的左，右2211:Cxyt1bt2,AC顶点， 与1CQF1 F2M相交于 A，B，C ，D 四点。0()求直线 与直线 交点 M 的轨迹方程;12（四川）如图，动点 到两定点 、 构成 ，且 ，设动点 的轨迹为 。(1,0)A(2,)BMAB2MABC（）求轨迹 的方程；C（）设直线 与 轴交于点 ，2yxmyP与轨迹
10、 相交于点 ，且 ，QR、 |求 的取值范围。|PR1.() 已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线2.() 设 A1、A 2 是椭圆 =1 的长轴两个端点， P1、P 2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直线 A1P1 与49yxA2P2 交点的轨迹方程为( ) A. B. C. D.1249xy49y492xy二、填空题3.() ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B( ,0),C( ,0)，且满足条件 sinCsin B= sinA,则动
11、点 A 的2a 21轨迹方程为_.4.() 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A( 5，0) 、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.() 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且| AB|=|BC|=6，O 切直线 l 于点 A，又过 B、C 作O异于 l的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.6.() 双曲线 =1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA 1P，A 2QA 2P，A 1Q 与2byaxA2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程.
12、8.()已知椭圆 =1(ab0),点 P 为其上一点，F 1、F 2 为椭圆的焦点，F 1PF2 的外角平分线为2yxl，点 F2 关于 l 的对称点为 Q，F 2Q 交 l 于点 R.(1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l：y=k(x+ a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求2k 的值.一、1.解析：|PF 1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,| PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F 1Q|=2a,动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆.2.
13、解析：设交点 P(x,y）,A 1(3,0), A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y 0)A 1、P 1、P 共线， A 2、P 2、P 共30xy线， 解得 x0=30xy 49,49,3,9 20yx即代 入 得二、3.解析：由 sinCsin B= sinA,得 cb= a,应为双曲线一支，且实轴长为 ,故方程为21212a.)4(13612axyax答案： )(2xay4.解析：设 P(x,y） ，依题意有 ,化简得 P 点轨迹方程为 4x2+4y285x+100=0.22)5(3)5( yxyx答案：4x 2+4y285x +100=0三、5.解：设过 B、 C 异于
14、l 的两切线分别切O 于 D、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，| CA|=|CE|，故|PB|+| PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC |，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、 C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为 =1(y0)7281x6.解：设 P(x0,y0）( xa),Q(x,y).A 1(a,0), A2(a,0).由条件 yaxaxy2000 )( 1得
15、而点 P(x0,y0)在双曲线上，b 2x02a 2y02=a2b2.即 b2(x 2)a 2( )2=a2b2化简得 Q 点的轨迹方程为： a2x2b 2y2=a4(xa).8.解：(1)点 F2 关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ，F 2PR=QPR ，| F2R|=|QR|，| PQ|=|PF2|又因为 l 为F 1PF2 外角的平分线，故点 F1、P、Q 在同一直线上，设存在 R(x0,y0）,Q(x 1,y1),F1(c,0), F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x 1+c)2+y12=(2a)2.又 210ycx得 x1=2x0c
16、,y 1=2y0.(2x 0)2+(2y0)2=(2a)2，x 02+y02=a2.故 R 的轨迹方程为：x 2+y2=a2(y0)(2)如右图，S AOB = |OA|OB|sinAOB= sinAOB212a当AOB=90时，S AOB 最大值为 a2.1此时弦心距|OC|= .21|ka在 Rt AOC 中， AOC=45， .3,245cos1|2kkaOAC专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1如图 1， 中，已知 ， ，点 在 轴上方运动，且 ，则顶点B(,0)(,)CAxtan2BCA的轨迹方程是 2如图 2，若圆 ： 上的动点 与点 连线 的垂直平分线交 于点 ，C2136x
17、yM(1,0)BMG则 的轨迹方程是 G3如图 3，已知点 ，点 在圆 上运动， 的平分线交 于 ，则 的轨迹方(,0)AP21xyAOPAQ程是 4与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为 2xy(2,)5如图 4，垂直于 轴的直线与 轴及抛物线 分别交于点 、 ，点 在 轴上，且点xByA满足 ，则线段 的中点 的轨迹方程是 |B|OBQ几种常见求轨迹方程的方法：1直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验；【例 1】 （1）求和定圆
18、 的圆周的距离等于 的动点 的轨迹方程；22xyRRP（2）过点 作圆 ： 的割线，求割线被圆 截得弦的中点的轨迹(,0)AaO2xy(0)aO解：（1）设动点 ，则有 或 即 或 P|P|224xyR20xy故所求动点 的轨迹方程为 或 24（2）设弦的中点为 ，连结 ，则 ，(,)MMA1OMAk ，化简得： 1yxa22()()axy其轨迹是以 为直径的圆在圆 内的一段弧（不含端点） OAO【例 2】已知直角坐标平面上一点 和圆 ： ，动点 到圆 的切线长等于圆 的半,0QC21xCC径与 的和求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线|解：如图，设 切圆 于 ，又圆的半径 ，NC|N ，
19、2|M22|21M ，由已知 1|设 ，则 ，(,)xy22()yxyxyPAxyOQPxyOBA图 1 图 2 图 3 图 4BGOxOyxQMN ，即 可化为 223()xy23850xy3()2x249()31xy ()2x 故所求的轨迹是以点 为中心，实轴在 轴上的双曲线的右支，顶点为 ，如图4,0 5,0【例 4】已知定圆 的半径为 ，定点 与圆 的圆心 的距离为 又一动圆 过定点 ，ArBA ()mrPB且与定圆 相切求动圆圆心 的轨迹方程P解：以 所在的直线为 轴，以 的中点为原点建立坐标系，如图Bx当动圆 与定圆 外切时， ；当动圆 与定圆 外切时， P|rPA|Ar由双曲线的
20、定义知动圆圆心 的轨迹应是以 、 为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支） 显然， ，又 ，2mcra故 24b所以所求的点 轨迹方程是： P2214xyr3动点转移法：若动点 随已知曲线上的点 的变动而变动，且 、 可用 、 表示，(,)y0(,)Qxy0xyx则将 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 的轨迹方程这种方法称为动点转QP移法（或代换法或相关点法） 【例 5】已知定点 、 为抛物线 ，上任意一点，点 在线段 的中点，当 点在抛物(3,1)AB21AB线上变动时，求点 的轨迹方程P解：设点 ，且设点 ，则有 点 是线段 的中点由中点坐标公式得：,Pxy0,)xy0x， 将此
21、式代入 中，并整理得： ，021021201y2(1)yx即为所求轨迹方程它是一条抛物线4待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求【例 7】若抛物线 和以坐标轴为对称轴、实轴在 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线24yxy 2yx被双曲线截得的线段长等于 ，求此双曲线方程25解：设所求双曲线方程为 ，将 代入整理得： 21ab4yx22240axba抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程 应有等根 ，即 240x432160b2由 和 得
22、： y222()0ax由弦长公式得： 21212545(4)ab即 由 得： ， 双曲线的方程是 224ab2baa21yx5参数法：当动点 的坐标 、 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量 ，并用 表示Pxy tt动点 的坐标 、 ，从而动点轨迹的参数方程 消去参数 ，便可得到动点 的()xftygP的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有 的范围确定出 、 的范围xy【例 8】抛物线 的焦点为 ，过点 作直线交抛物线于不同两点 、 ，以 、 为邻24xyF(0,1)ABF边作平行四边形 ，求顶点 的轨迹方程ARBNByOMAP解：设 ， ： ， 中点为 ， ， ，与 联立得：
23、(,)RxyAB1kxAB0(,)Mxy1(,)A2(,)Bxy24y ， ， 240k26()124k24， 11()4y， ， 为 中点，2(,M,F ， 消 得： x23yk2(3) xy 巩固练习：1平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（ ）（A）椭圆的一部分 （ B）椭圆 （C）双曲线的一部分 （D）双曲线2已知动点 与定点 的距离比动点 到 轴的距离大 ，则动点 的轨迹（ ）)0,2(FMy2M（A）抛物线 （B）抛物线的一部分 （C）抛物线和一射线 （D）抛物线和一直线3已知定直线 和 外一点 ，过 与 相切的圆的圆心轨迹是（ ）lAl（A）抛物线 （B）双
24、曲线 （C）椭圆 （D）直线4一动圆与两圆 和 都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）21xy28120xy（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线5已知椭圆的焦点是 、 、 是椭圆上的一个动点如果延长 到 ，使得 ，那么F2P1FPQ|2|PF动点 的轨迹是（ ）Q（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线6已知点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）)0,(),3(,)xy2ABx（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线7与圆 外切，又与 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）24xy（A） （B） 和828 (0)y（C） （D） 和(0)yx (0)x8过抛物
25、线 的焦点作直线与此抛物线相交于两点 、 ，则线段 中点的轨迹方程为（ ）2 PQ（A） （B） （C） （D）1yx2122yx9过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 A、B 两点，点 与点 关于 轴对称，(,)Px Py为坐标原点，若 ，且 ，则点 的轨迹方程是（ ）OPAOQB（A） （B）23 (0, )xyy231 (0, )xyxy（C） （D）1x10已知两点 、 ，点 为坐标平面内的动点，满足 ，则动(,)M(2,)NP|0MNP点 的轨迹方程为（ ）,Pxy（A） （B） （C） （D）288yx24yx24yx11与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程
26、是（ ）2196(3,)（A） （B） （C） （D）24xy24192149214912设 为双曲线 上一动点， 为坐标原点， 为线段 的中点，则点 的轨迹方程是P21OMOPM13已知 ， 是圆 ： （ 为圆心）上一动点，线段 的垂直平分线交1(,0)F2()4xyFAB于 ，则动点 的轨迹方程为 BF14倾斜角为 的直线交椭圆 于 、 两点，则线段 中点的轨迹方程是 45142AB15求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过 和 两点的椭圆方程 (3,)(23,1)16已知双曲线与椭圆 共焦点，它的一条渐近线方程为 ，则双曲线的方程是26xy 0xyFOxRAB17已知 是椭圆 上的任意一点，
27、从右焦点 作 的外角平分线的垂线，Q21 (0)xyab 2F12Q垂足为 ，求 点的轨迹方程P18如图，直线 ： 与直线 ： 之间的阴影区域1l k2lykx（不含边界）记为 ，其左半部分记为 ，右半部分记为 W12W（1）分别用不等式组表示 和 ；1（2）若区域 中的动点 到 ， 的距离之积等于 ，(,)Pxyl2d求点 的轨迹 的方程；C19设椭圆方程为 ，过点 的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点 P 满足42x(0,M，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程2OPAB20过双曲线 ： 的左焦点 作直线 与双曲线 交于 、 两点，213yFlCQ以线段 、 为邻
28、边作平行四边形 ，求顶点 的轨迹方程QOQ21设点 和 为抛物线 上原点以外的两个动点，24 (0)px已知 ， ，求点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线ABA（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：
29、如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 xf（t） ，yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）
30、的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足C求点 C 的轨迹。,sin45isnB【变式】：已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。xyAMByx例 2：一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，且 BM=a，AM=b，求 AB 中点 M 的轨迹方程？【变式】: 动点 P（x,y）到两定
31、点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即 ） ，求动点 P 的轨迹方2|PBA程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MAB，aAbyaxB)02(12轨迹方程。【变式】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BQRAPoyx
