1、 第 二 节 矩 阵 的 逆 矩 阵 、特 征 值 与 特 征 向 量1矩阵的逆矩阵(1)一般地，设 是一个线性变换，如果存在线性变换 ，使得 I，则称变换 可逆，并且称 是 的逆变换(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BAABE，则称矩阵 A 可逆，或称矩阵 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A 的逆矩阵(3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的，A 的逆矩阵记为 A1 .(4)(性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且( AB)1 B 1A1 .(5)二阶矩阵 A 可逆，当且仅当 det A
2、adbc 0 时，A 1 .a bc d ddet A bdet A cdet A adet A2二阶行列式与方程组的解对于关于 x，y 的二元一次方程组Error! 我们把 称为二阶行列式，它的运算结果是|a bc d|一个数值，记为 det A adbc.|a bc d|若将方程组中行列式 记为 D， 记为 Dx， 记为 Dy，则当 D0 时，方程|a bc d| |m bn d| |a mc n|组的解为Error!3矩阵特征值、特征向量的相关概念(1)定义：设矩阵 A ，如果存在实数 以及非零向量 ，使得 A，则称 是a bc d矩阵 A 的一个特征值， 是矩阵 A 的属于特征值 的一
3、个 特征向量(2)一般地，设 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线(4)设矩阵 A ，称 f() 为矩阵 A 的特征多项式，方程 0a bc d | a b c d| | a b c d|为矩阵 A 的特征方程4特征向量的应用(1)设 A 是一个二阶矩阵， 是矩阵 A 的属于特征值 的任意一个特征向量，则An n(nN *)(2)性质 1 设 1， 2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， 1， 2 是矩阵 A 的分别属于特征值 1， 2 的特征向量，对于任意的非零平面向量 ，
4、设 t 11t 22(其中 t1，t 2 为实数)，则对任意的正整数 n，有 Ant 1 1t 2 2.n1 n21矩阵 的逆矩阵是_0 11 0答案： 0 1 1 02若矩阵 可逆，则 k 的值不可能是_2 35 k答案：1523若矩阵 A 不可逆，则实数 a 的值为_2 1 a21 a 1解析：由题意|A | |2 1 a21 a 1|2(a1) 1(1 a 2)a 22a10， a1.答案：14对任意实数 x，矩阵 总存在特征向量，则 m 的取值范围是_x 3 m2 m 2解析：由条件得 f() | x 3 mm 2 2|(x)( 2)(m2)( 3 m) 2( x2) 2x( m3)(
5、m 2) 0 有实数根，所有 1(x2) 24(2xm 2m 6)0 对任意实数 x 恒成立，所以 216 4(4m24m28)0，解得 m 的取值范围是3m2.答案：3m2.5已知矩阵 M 的特征值 18 及对应的一个特征向量 e1 ，并有特征值 22 及11对应的一个特征向量 e2 .则矩阵 M_.1 2解析：设 M ，则 8 ，a bc d a bc d11 11 88故Error! 2 ，a bc d 1 2 1 2 2 4故Error! 联立以上两个方程组解得 a6， b2，c4， d 4，故 M .6 24 4答案： 6 24 4热点考向一 求逆矩阵求矩阵 A 的逆矩阵例 1 3
6、22 1【解析】 法一：设矩阵 A 的逆矩 阵为 ，x yz w则 ，3 22 1x yz w 1 00 1即 ，3x 2z 3y 2w2x z 2y w 1 00 1故Error! 且Error!解得 x1，z2，y 2，w 3，从而矩阵 A 的逆矩阵 A1 . 1 22 3法二：A ，detA1.3 22 1A1 .(1 1 2 1 2 1 3 1) 1 22 3【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法1已知变换矩阵 A 把平面上的点 P(2，1)、Q (1,2) 分别变换成点 P1(3，4)、Q1(0,5)(1)求变换矩阵 A；(2)判断变换矩阵 A 是否可逆，如果可逆，求矩阵 A
7、的逆矩阵 A1 ：如不可逆，请说明理由【解析】 (1)假设所求的变换矩阵 A ，依 题意，可得 及 a bc d a bc d 2 1 3 4 a bc d ， 12 05即Error! 解得：Error!所以所求的变换矩阵 A 2 1 1 2(2)detA22( 1)15，A 可逆A1 .(25 15 1 15 25) (25 1 515 25)热点考向二 利用矩阵解二元一次方程组- -步 骤 求 a1 b1a2 b2的 逆 矩 阵 求 方 程 组 的 解(1)求矩阵 A 的逆矩阵；例 2 2 31 2(2)利用逆矩阵知识，解方程组Error!【解析】 (1)法一：设矩阵 A 的逆矩阵为 A
8、1 ，a bc d则由 ，2 31 2a bc d 1 00 1知Error!解之得Error!A 1 .2 3 1 2法二：A ，2 31 2|A|4 31，A1 .21 31 11 21 2 3 1 2(2)二元一次方程组的系数矩阵为 A ，2 31 2由(1)知 A1 .2 3 1 2因此方程Error!有唯一解 A 1 .xy 13 .xy 2 3 1 213 75即Error!【点评】 二元一次方程组Error!(a 1，b1 不同时为零，a 2，b2 不同时为零)的系数矩阵为A ，只有当|A| 0 时 ，方程组有唯一解 A1 ，若| A|0，则方程组有无数解或无a1 b1a2 b2
9、 c1c2解2用矩阵方法求解二元一次方程组Error!解析：原方程组可以写成 ，2 14 5xy 82记 M ，2 14 5其行列式 2(5) 14140，|2 14 5|M1 .514 11427 17 M 1 ，即方程组的解为Error!xy 82 32热点考向三 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵 A ，B .例 3 1 2 1 4 32(1)求 A 的特征值 1， 2 及对应特征向量 1， 2；(2)求 A4B.【解析】 (1)设 A 的一个特征值为 ，由题意知：0，即(2)( 3)0，解得 12， 23， 1 21 4当 12 时，由 2 ，得 A 属于特征值 2 的特征向量 1 ；1
10、2 1 4xy xy 21当 23 时，由 3 ，得 A 属于特征值 3 的特征向量 21 2 1 4xy xy 11(2)由于 B 1 2.32 21 11故 A4BA 4(1 2)(2 41) (342)16 181 2 .3216 8181 11397【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相 应的特征向量请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面 计算简单 、方便3已知矩阵 A ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 ，属于特征3 3c d 11值 1 的一个特征向量 2 ，求
11、矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵3 2解析：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 可得， 6 ，11 3 3c d11 11即 cd6；由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 2 ，3 2可得 ，即 3c2d2，3 3c d 3 2 3 2解得Error! ，即 A .3 32 4A 的逆矩阵是 .23 12 13 12一、填空题1已知 A 可逆，则实数 a 的取值范围是_1 3a 6解析：矩阵 A 可逆当且仅当 det(A)0，即 63a0，a2，a 的取值范围为(，2)(2，)答案：(，2)(2 ，)2设矩阵 M ，则矩阵 M 的特征向量可以是_12 3232 12解析：矩阵
12、 M 的特征多项式f() 21.| 12 32 32 12|由于 f()0 得矩阵 M 的特征值为11， 21.经计算可得，矩阵 M 属于特征 值 1 的一个特征向量为 ，而属于特征值 1 的31一个特征向量为 .1 3答案： 1 33设可逆矩阵 A 的逆矩阵 A1 ，则a 34 5 b ca 1a_，b_，c_.解析：由 AA1 E 得 ，ab 3a ac 34b 5a 4c 5 1 00 1即Error!解方程组得 a2，b ，c .52 32答案：2 52 324已知二元一次方程组Error!从线性变换的角度求解时应把向量 绕原点作顺时针 11旋转_的旋转变换解析：因为方程组Error!
13、的矩阵形式是 ，它是把向量 绕原点作逆时针旋转 变换得到 ，所以解方程22 2222 22 xy 11 xy 4 11组就是把向量 绕原点作顺时针旋转 的旋转变换 11 4答案：45A ，则 A1 _.1 10 112 3232 12解析：A ，1 10 112 3232 12 1 32 1 3232 12 |A| 10.1 32 12 1 32 32A1 .12 1 32 32 1 32 答案：12 1 32 32 1 32 6现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a1，b2，z26，双方约定的矩阵为 ，发送方传递的密码为 67,30,31,8，此组1 40 2密码所发信息为_
14、解析：因为 A ，所以 det A 20，1 40 2 |1 40 2|所以 A1 ，而密码矩 阵为 B ，1 20 12 67 3130 8故明码矩阵 XA 1 B ，1 20 1267 3130 8 7 1515 4对应信息为“good”答案：good7矩阵 M 的特征值与特征向量分别为_ 1 252 3解析：由 (1)( 3) (2)( ) 22 80，得矩阵 M 的特征值| 1 2 52 3| 52为 14， 22.设属于特征值 14 的特征向量为 ，则它满足方程( 11)x( 2)y0，即 5x2y0.xy故可取 为属于特征值 14 的一个特征向量25设属于特征值 22 的特征向量为
15、 ，同理可得 x2y0.故可取 为属于特征值xy 2122 的一个特征向量综上所述，矩阵 M 有两个特征值 14， 22，属于 14 的一个特征向量 1 252 3为 1 ；属于 22 的一个特征向量为 2 .25 21答案： 14， 1 和 22， 225 218已知矩阵 A ，B ，则满足方程 AXB 的二阶矩阵 X_.2 1 4 3 4 1 3 1解析：A ，2 1 4 3|A| 23( 1) (4)20.|2 1 4 3|A1 .AXB， XA 1 B，32 122 1X .32 122 14 1 3 1 92 15 1答案： 92 15 1二、解答题9已知矩阵 A ，B ，C ，求满
16、足 AXBC 的矩阵 X.1 2 2 3 2 31 2 0 11 0解析：AXB C，所以(A 1 A)XBB1 A 1 CB1而 A1 AXBB1 EXBB 1X(BB 1 )X，所以 XA 1 CB1因为 A1 ， 3 22 1B1 ，2 3 1 2所以 XA 1 CB1 3 22 10 11 02 3 1 2 2 31 22 3 1 2 . 1 00 110已知矩阵 A .6 24 4(1)求矩阵 A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵 An.解析：(1)矩阵 A 的特征方程 为(6)( 4)8 210160.| 6 2 4 4|得矩阵 A 的特征值为 18， 22.当 18 时，A 属于 1 的特征向量为1 ；11当 22 时，A 属于 2 的特征向量为2 .1 2(2)设 An a bc d
