1、数学知识点总结第 - 2 - 页 共 93 页引言1.课程内容：必修课程由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求
2、。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分
3、角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修 41：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数
4、的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用第 - 3 - 页 共 93 页不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向
5、量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集.NNZQR（3）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一.aMaaM（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在
6、大括号内表示集合.描述法： | 具有的性质，其中 为集合的代表元素 .xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图子集BA（或 )A 中的任一元素都属于 B(1)A A(2)(3)若 且 ，则BCA(4)若 且 ，则 BA(B)或B A真子集A B（或B A），且 B 中至少有一元素不属于 A（1） （A 为非空子集）(2)若 且 ，则BCB A集合相等 A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素
7、都属于 A(1)A B(2)B AA(B)（7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它有(1)n2n21n21n非空真子集.2n第 - 4 - 页 共 93 页【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xA（1） A（2） （3） BBA并集 AB或|,xA（1） A（2） （3） BBA补集 UA|,xA且1 ()UA2 A【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式 解集|(0)xa|xa|或|,|(0)axbcc把 看成一个整体，化成 ，axb|xa型不等式来
8、求解|(0)（2）一元二次不等式的解法判别式 24bac00二次函数 2(0)yx的图象O =OL O一元二次方程20()axbca的根21,24bacx（其中 12)x12bxa无实根2()的解集或1|x2|x2R()()UU第 - 5 - 页 共 93 页20()axbca的解集12|x1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合 中都有ABfAxB唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合()fx Bf到 的一个函数，记作 :fAB函数的三要素:定义
9、域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足,ababxbx,ab的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫做半开xx(,)abxx半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集合分别记做,)(,xx,)(,ab注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须|xa(,)abb， （前者可以不成立，为空集；而后者必须成立） b（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 是整式时，定义域是全体实数()fx 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数
10、 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合()fx对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 中， tany()2kZ零（负）指数幂的底数不能为零若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义()fx域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的定义()fx,ab()fgx域应由不等式 解出()agxb对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最
11、值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域第 - 6 - 页 共 93 页或最值判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，()yfxyx2()()0ayxbcy则在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值()0ay, 2()4()0bac
12、不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中
13、任何一个元素，在集合 中都有唯一的ABfAB元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的映射，ABfA记作 :f给定一个集合 到集合 的映射，且 如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做元AB,ababb素 的象，元素 叫做元素 的原象ab1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用定义（2
14、）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；若()yfgx()ugx()yfu()gx()yfgx第 - 7 - 页 共 93 页为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则()yfu()gx()yfgx()yfu()gx为减；若 为减， 为增，则 为减gxyfugx（2）打“”函数 的图象与性质()(0)afx分别在 、 上为增函数，分别在()fx,、 上为减函数,0a(（3）最大（
15、小）值定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数()yfxI满足：（1）对于任意的 ，都有 ；M()fxM（2）存在 ，使得 那么，我们称 是0xI0()fx函数 的最大值，记作 ()fma一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxImxI；（2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最小值，记作()fxm0I0()fx()fa【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对
16、称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ()fx0x(0)f奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反y y在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：yxo第 - 8 -
17、 页 共 93 页确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ； 画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换 0,|() ()hyfxyfxh 左 移 个 单 位右 移 个 单 位 0,|() ()kyfxyfxk 上 移 个 单 位下 移 个 单 位伸缩变换1,()()ff 伸缩0,Ayxyx 缩伸对称变换()()xff 轴 ()()yfxfx 轴yyx 原 点 1 直 线() (|)yfx yfx 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ，
18、并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象|()|xy fx 保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时， 的 次方根,1nxaRxnNxan
19、an用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；an 0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶nannan数时， 根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nana 0|() na（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 且 0 的正分数指数幂等于 0(0,mnanN1)正数的负分数指数幂的意义是： 且 0 的负分数指数 1)(,mna )n幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数第 - 9 - 页 共 93 页（3）分数指数幂的运算性质
20、(0,)rsrsaR()(0,)rsrasR ()rrbbr【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， ,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa(0)1()xxa变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低aa2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真(0,1)xaNa且 xaNlogaxNN数
21、负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxa（2）几个重要的对数恒等式01xyx(,)O101xx(,)Oy第 - 10 - 页 共 93 页， ， log10al1alogba（3）常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lN10llnNloge2.718（4）对数的运算性质 如果 ，那么,0,aM加法： 减法：logllog()alllogaaaMN数乘： nanRlogaN 换底公式：loglog(0,)baaMbll(0,1)ogba且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ay
22、x1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 如果对于()yfxAC()yfx()xy在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表C()xyA()示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写xy()fx1()xfy01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xla
