1、求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例 1已知线段 ，直线 相交于 ，且它们的斜率之积是 ，求点6A
2、BBM, 49的轨迹方程。M解：以 所在直线为 轴， 垂直平分线为 轴建立坐标系，则 ，xy(3,0)(,AB设点 的坐标为 ，则直线 的斜率 ，直线 的(,)yAAMkxM斜率 3AMkx由已知有 4()9化简，整理得点 的轨迹方程为21(3)4xy练习：1平面内动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2，则点 的轨迹P(10,)FxP方程是 。2设动直线 垂直于 轴，且与椭圆 交于 、 两点， 是 上满足lx24yABl的点，求点 的轨迹方程。AB3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ）A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线2定义
3、法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例 2若 为 的两顶点， 和 两边上的中线长之和是 ，(8,0)(,BCABAB30则 的重心轨迹方程是_。A解：设 的重心为 ，则由 和 两边上的中线长之和是 可得ABC(,)GxyACB30，而点 为定点，所以点 的轨迹为以230(8,0)(,G为焦点的椭圆。,所以由 可得2,8ac21,6abc故 的重心轨迹方程是ABC2(0)03xy练习：4方程 表示的曲线是 （ ）22(
4、1)()|xyxyA椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ，12(,)(,)xy 12x， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ，12yAB(,)Pxy且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程。12AB21yx例 3椭圆 中,过 的弦恰被 点平分,则该弦所在直线方程为24xy(,)P_。解：设过点 的直线交椭圆于 、 ，则有(1,)P1(,)Axy2(,)B 24xy24 可得12121212()()0xyy而 为线段 的中点，故有,)PAB,x所以 ，即12
5、1212()0412ABk所以所求直线方程为 化简可得()yx30xy练习：5已知以 为圆心的圆与椭圆 交于 、 两点，求弦 的中点(2,)P2ymABA的轨迹方程。M6已知双曲线 ，过点 能否作一条直线 与双曲线交于 两点，使21yx(,)Pl,AB为线段 的中点？PAB4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点 在已知方程的曲线上移动；另一个动点 随 的变化而变化；MP在变化过程中 和 满足一定的规律。例 4 已知 是以 为焦点的双曲线 上的动点，求 的重心 12,F2169xy12FPG
6、的轨迹方程。解：设 重心 ，点 ，因为(,)Gxy0(,)Pxy12(4,0)(,F则有 ， 故 代入 304yy396yx得所求轨迹方程 291(0)6x例 5抛物线 的焦点为 ,过点 作直线 交抛物线 、 两点,再以24yF,lAB、 为邻边作平行四边形 ，试求动点 的轨迹方程。AFBABR解法一：（转移法）设 ， ，平行四边形 的中心为(,)Rx(0,1)FR，1(,)2xyP将 ，代入抛物线方程,得 ，k24xk设 ，则12()()AB121260|44kxkx ，2221111()44xxy k 为 的中点. ，消去 得PAB1221kyy342kyxk，由得， ，故动点 的轨迹方程
7、为 。24(3)xy|4xR2()|4xx解法二：（点差法）设 ， ，平行四边形 的中心为(,)Ry(0,1)FAFBR，1(,)2P设 ，则有12(,)AxyB 424xy由 得 111212()4lxk而 为 的中点且直线 过点 ，所以 代PABl0,12132,lyxx入可得 ，化简可得 34yx2244xy由点 在抛物线口内，可得 1(,)2P221()8(1)xy将式代入可得2218(6|44xx故动点 的轨迹方程为 。R23)(|y练习：7已知 ，在平面上动点 满足 ，点 是点 关于直线(1,0),4ABQ4ABPQ的对称点，求动点 的轨迹方程。2yxP5参数法求曲线的轨迹方程是解
8、析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例 6过点 作直线 交双曲线 于 、 两点，已知(2,0)Ml21xyAB。OPAB（1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；P（2）是否存在这样的直线 ，使 矩形？若存在，求出 的方程；若不存在，lOPl说明理由。解：当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，代入方程 ，得l
9、l(2)0ykx21xy22(1)410kxk因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，设 ，则l 12(,)(,)AyB2211,k 2121212 24()()()11kkyxkx设 ，由 得,POAB224,)(,)yxy 所以 ，代入 可得 ，化简得2241kxyxky241k21()xy即 240x2()x当直线 的斜率不存在时，易求得 满足方程，故所求轨迹方程为l (4,0)P，其轨迹为双曲线。 （也可考虑用点差法求解曲线方程）()y（2）平行四边 为矩形的充要条件是 即 OABOAB120xy当 不存在时， 、 坐标分别为 、 ，不满足式k(2,3)(,)当 存在时， 21211 1
10、()4xyxkxkxk化简得 ，22()440k201此方程无实数解，故不存在直线 使 为矩形。lOPAB练习：8设椭圆方程为 ,过点 的直线 交椭圆于点 、 , 是坐标原点,点142yx(0,)MlABO满足 ,点 的坐标为 ,当 绕点 旋转时,求:P)(21OBAN)21(lM(1)动点 的轨迹方程； (2) 的最小值与最大值。|P9设点 和 为抛物线 上原点 以外的两个动点，且 ，24(0)ypxOOAB过 作 于 ，求点 的轨迹方程。M6交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例 7已知 是椭圆 中垂直于
11、长轴的动弦， 、 是椭圆长轴的两个端N12byax AB点，求直线 和 的交点 的轨迹方程。MABP解 1:(利用点的坐标作参数)令 ，则1(,)xy1(,)Nxy而 .设 与 的交点为(,0(,)Aa因为 共线，所以 因为 共线，所以Paxy1,BPaxy1两式相乘得 ， 而 即 代入22axy12by2)(ab得 ， 即交点 的轨迹方程为 2bxPyax解 2: (利用角作参数)设 ，则cos,in)Ma(cos,in)Nab所以 , 两式相乘消去bxyaxy即可得所求的 点的轨迹方程为 。P12ba练习：10两条直线 和 的交点的轨迹方程是_ 01yax)(0yx_。总结归纳1要注意有的
12、轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性” ，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明 的取值范围，或同时注明 的取值范围。x,xy2 “轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程” ，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。练习参考答案12()1648xy2解：设 点的坐标为 ，则由方程 ，得P(,)xy24xy24x由于直线 与椭圆交于两点 、 ，故lAB即 、 两点的坐标分别为AB22(,),()xx2 244
13、(0,),(0,)xPyPBy由题知 即1A22(,)(,)1xx 即 所以点 的轨迹方程为224xy26yP2(2)63yx3D 【解析】在长方体 中建立如图所示1ABCD的空间直角坐标系，易知直线 与 是异面垂直的1两条直线，过直线 与 平行的平面是面 ，ABCD设在平面 内动点 满足到直线 与(,)Mxy的距离相等，作 于 ，1C1P1于 ， 于 ，连结 ，易知MNC平面 ，则有 ，1,DMP(其中 是异面直线 与 间的距离)，即有 ，因此动22|yxaA122yxa点 的轨迹是双曲线，选 D.4A5解 设 ，(,)12(,)(,)AyBx则 ，由 ， 122xmy1yx2两式相减并同除
14、以 得1()x MOPBA x, 而1212yxxxyy12ABykx, 又因为 所以PMkPPM化简得点 的轨迹方程121xy240xy6先用点差法求出 ，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。0xy中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。7解：设 ，则(,)Qxy(1,)(1,4)AxyQBxy由 4 (1)(4)B xy即 223所以点 的轨迹是以 为圆心，以 3 为半径的圆。(0,)C点 是点 关于直线 的对称点。P4yx动点 的轨迹是一个以 为圆心，半径为 3 的圆，其中 是点0, 0(,)Cxy关于直线 的对称点，即直线
15、过 的中点，且与(0,2)C2()2(4)yx垂直，于是有 即000124yxx0082182yxy故动点 的轨迹方程为 。P2(8)()98解：(1)解法一:直线 过点 ，设其斜率为 ,则 的方程为 l,1Mkl1ykx记 、 由题设可得点 、 的坐标 、 是方程组 ),(1yxA,2yBAB),(1x),(242k的解 将代入并化简得, ,所以 于032)4(kx.48,221kyx是 ).4,()2,()(21 21kyxOBAP 设点 的坐标为 则 消去参数 得 P),(yx.4,2kk042yx当 不存在时, 、 中点为坐标原点 ,也满足方程,所以点 的轨迹方程为kAB(0)P240
16、xy解法二:设点 的坐标为 ,因 、 在椭圆上,所以 P)(yx,1y)2yxB ,121 .42得 ,所以 0)(42121yx.)()( 212221x当 时,有 21.04212121 xyyx并且 将代入并整理得 .1,2,21xyyx .042yx当 时,点 、 的坐标为 ，这时点 的坐标为21xAB(0,2)P(0,)也满足,所以点 的轨迹方程为 P2164yx(2)解:由点 的轨迹方程知 ，即 所以 21x127)6(3)()()21(| 222 xyxNP故当 , 取得最小值,最小值为 时, 取得最大值, 最大值为4| 1;4当 |NP2169解法 1 ：(常规设参)设 ， ，则(,)Mxy12(,)(,)ABxy
