1、1高等数学同济版(下册)期末考试试卷(一)一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分)1、 = 的定义域为 D= 。z)0(log2ayxa2、二重积分 的符号为 。1|nyxdx3、由曲线 及直线 , 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 l1ey。4、设曲线 L 的参数方程表示为 则弧长元素 。),()xtyx ds5、设曲面为 介于 及 间的部分的外侧,则 。92x0z3syx)12(6、微分方程 的通解为 。ydtan7、方程 的通解为 。04)(8、级数 的和为 。1)(n二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分)1、二元函数 在 处可微的充分条件是( )),(yxfz),0(
2、A) 在 处连续;0(B) , 在 的某邻域内存在;),(yxf),(f),0yx(C) 当 时,是无穷小;fzyx ,(,0 0)(22yx(D) 。0)(lim2200 yxfyx2、设 其中 具有二阶连续导数,则 等于( )),(xyffuf 22yux(A) ; (B ) ; (C) ; (D)0 。yxy3、设 : 则三重积分 等于( ),0122zzdVI(A)4 ;(B ) ;2003cosindrrd2002sindr2(C) ;(D) 。20103cosindrrd20103cosindrrd4、球面 与柱面 所围成的立体体积 V=( )224azyxaxyx2(A) ; (
3、B ) ;20cos2drd20cos244adrrd(C) ; (D) 。20cos248ar2cos02a5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成,L 取正向,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数,),(,yxQP则 LQdyPx)((A) ; (B) ;DxdyDdxyQ)((C) ; (D) 。)( P)(6、下列说法中错误的是( )(A) 方程 是三阶微分方程;02yxyx(B) 方程 是一阶微分方程;dsin(C) 方程 是全微分方程;0)3()( 2232 dyxyx(D) 方程 是伯努利方程。y17、已知曲线 经过原点,且在原点处的切线与直线 平行,而 满足微分方程)(x
4、y 62yx)(xy,则曲线的方程为 ( )052yy(A) ; (B ) ;xe2sin )cos(sinxex(C) ; (D) 。)(cox28、设 , 则 ( )0limnu1nu(A)收敛; (B)发散; (C)不一定; (D)绝对收敛。三、求解下列问题(共计 15 分)1、 (7 分)设 均为连续可微函数。 ,gf, )(),(xygvxyfu3求 。yux,2、 (8 分)设 ,求 。txdzft)(),( tux,四、求解下列问题(共计 15 分) 。1、计算 。 (7 分)I202xyed2、计算 ,其中 是由 所围成的空间闭区域(8 分)V)(x21,22zy及五、 (13
5、 分)计算 ,其中 L 是 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点 的LyxdI2o )0,(O封闭曲线的逆时针方向。 六、 (9 分)设对任意 满足方程 ,且 存在,求 。)(,f )(1)(yfxfyxf)0(f)(xf七、 (8 分)求级数 的收敛区间。112)(nnx4高等数学同济版(下册)期末考试试卷(二)1、设 ,则 。zyxzyx32)32sin(yzx2、 。yx9lim03、设 ,交换积分次序后, 。2),(xdyfI I4、设 为可微函数,且 则 。 )(uf ,0f2)(1lim23tyxt df5、设 L 为取正向的圆周 ,则曲线积分42yx。xdedye)()1(6、
6、设 ,则 。kxyzjxyizA)(222 Adiv7、通解为 的微分方程是 。xecy18、设 ,则它的 Fourier 展开式中的 。xf0,)( na二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分) 。1、设函数 ,则在点(0,0)处( ),0,),( 24yxyxf(A)连续且偏导数存在; (B)连续但偏导数不存在;(C)不连续但偏导数存在; (D)不连续且偏导数不存在。2、设 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数,且满足),(yxu及 ,020yu则( )(A)最大值点和最小值点必定都在 D 的内部;(B)最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上;(C)最大值点在 D 的内部,最小值
7、点在 D 的边界上;(D)最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D: ,若 ,1)()2(2yxdyxI2)(DdyxI32)(则有( )5(A) ; (B) ; (C) ; (D)不能比较。21I21I21I4、设 是由曲面 及 所围成的空间区域,则 =( ),xyz0zdxyz32(A) ; (B) ; (C) ; (D ) 。361362366415、设 在曲线弧 L 上有定义且连续,L 的参数方程为 ,其中 在),(yxf )(tyx)t)(,t上具有一阶连续导数,且 , 则曲线积分 ( ),0)(22ttLdsyf,(A) ; (B) ;dttf)(, t
8、tf )(,22(C) ; (D) 。 dt)(22f),(6、设 是取外侧的单位球面 , 则曲面积分1zyx=( )zdyxxdz(A) 0 ; (B) ; (C) ; (D) 。247、下列方程中,设 是它的解,可以推知 也是它的解的方程是( )1, 21y(A) ; (B) ;0)(xqyp 0)(xqp(C) ; (D) 。)(f )(y8、设级数 为一交错级数,则( )1na(A)该级数必收敛; (B)该级数必发散;(C)该级数可能收敛也可能发散; (D)若 ,则必收敛。)0(nan三、求解下列问题(共计 15 分)1、 (8 分)求函数 在点 A(0,1,0)沿 A 指向点 B(3
9、,-2 ,2))ln(2zyxu的方向的方向导数。2、 (7 分)求函数 在由直线 所围成的闭区域 D 上的最大)4(),(2f0,6xyx值和最小值。四、求解下列问题(共计 15 分)1、 (7 分)计算 ,其中 是由 及 所围成的立体3)1(zyxdvI 0,zyx1zyx域。62、 (8 分)设 为连续函数,定义 ,)(xf dvyxfztF)()(22其中 ,求 。22,0|,yhzydt五、求解下列问题(15 分)1、 (8 分)求 ,其中 L 是从 A(a,0)经 到Lxx ymemeI )cos()sin( 2xayO(0,0)的弧。2、 (7 分)计算 ,其中 是 的外侧。dz
10、ydzI222 )(22zx六、 (15 分)设函数 具有连续的二阶导数,并使曲线积分)(x与路径无关,求函数 。L dyxyex)(2)(32 )(x7高等数学同济版(下册)期末考试试卷(三)一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分)1、设 , 则 。 yzxtdeu2zu2、函数 在点(0,0)处沿 的方向导数)2sin(),(yxf)2,1(l= 。)0,(l3、设 为曲面 所围成的立体,如果将三重积分 化为先对 再,12zyxz dvzyxfI),(z对 最后对 三次积分,则 I= 。yx4、设 为连续函数,则 ,其中 。),(f IDt dyxf),(1lim20 22:tyxD5
11、、 ,其中 。Ldsyx2 2:aL6、设 是一空间有界区域,其边界曲面 是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数 , ),(zyxP, 在 上具有一阶连续偏导数,则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式: ),(zyxQ),(zyxR, 该关系式称为 公式。7、微分方程 的特解可设为 。 96962x*y8、若级数 发散,则 。1)(np二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分)1、设 存在,则 =( )),(bafx xbaffx ),(),(lim0(A) ;(B )0;(C)2 ;(D ) 。,f21),(afx2、设 ,结论正确的是( )2yxz(A) ; (B) ;002xyz(C
12、) ; (D) 。2xyz23、若 为关于 的奇函数,积分域 D 关于 轴对称,对称部分记为 , 在 D 上连续,),(f y21,D),(yxf则 ( )Ddyx8(A)0;(B)2 ;(C)4 ; (D)2 。 1),(Ddyxf1),(Ddyxf2),(Ddyxf4、设 : ,则 =( )22Rzxz(2(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。5385358R516R5、设在 面内有一分布着质量的曲线 L,在点 处的线密度为 ,则曲线弧 的重心的 坐标xoy ),(yx),(yxx为( )() = ; (B) = ; xLdsyxM),(1xLdxyM),(1(C) = ; (D
13、) = , 其中 M 为曲线弧 的质量。, s、设 为柱面 和 在第一卦限所围成部分的外侧,则 曲面积分12yx1,0zyx( )dzzdy2(A)0; (B) ; (C ) ; (D) 。42454、方程 的特解可设为( ))(2xfy(A) ,若 ; (B) ,若 ;1xAexef)((C) ,若 ;EDxCBx234 f2)((D) ,若 。)5cossin( x5sin、设 ,则它的 Fourier 展开式中的 等于( )xxf01,) na(A) ; (B)0; (C) ; (D ) 。)(2nn14三、 (分)设 为由方程 确定的 的函数,其中 具有一阶连续偏txfy, 0),(t
14、yxFyx,Ff,导数,求 。d四、 (分)在椭圆 上求一点,使其到直线 的距离最短。42yx 0632yx五、 (分)求圆柱面 被锥面 和平面 割下部分的面积。zz六、 (分)计算 ,其中 为球面 的 部分xyzdI122yx,yx的外侧。9七、 (10 分)设 ,求 。xxdf2sin1)(co)(f八、 (10 分)将函数 展开成 的幂级数。l(32f x10高等数学同济版(下册)期末考试试卷(四)一、 填空题:(本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分,把答案直接填在题中横线上)1、已知向量 、 满足 , , ,则 ab02aba2、设 ,则 ln()zxy32zx3、曲面 在
15、点 处的切平面方程为 29(1,4)4、设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为 ,则 的傅里叶()fx,)()fx()fx级数在 处收敛于 ,在 处收敛于 3x5、设 为连接 与 两点的直线段,则 L(1,0), ()Lxyds以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级二、 解下列各题:(本题共 5 小题,每小题 7 分,满分 35 分)1、求曲线 在点 处的切线及法平面方程2239xyzz0M(1,2)2、求由曲面 及 所围成的立体体积26xy3、判定级数 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?1()lnn4、设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 (,)sixzfyf2,zxy5、计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶,dSz22xyza(0)zha部三、 (本题满分 9 分) 抛物面 被平面 截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值2zxy1xyz与最小值 四、 (本题满分 10 分)计算曲线积分 ,(sin)(cos)xxLeymdeyd