1、“图形计算器与高中数学教学整合研究”课题教学设计案例、论文评选“类圆锥曲线”性质的探究上海南汇中学 李志 凤杰一、问题的提出 学习解析几何，我们知道曲线 的图像是圆，曲线 的图像是等21xy21xy轴双曲线，而对于一般情况，曲线 的图像是什么？它们有什么,mnQ性质？图形计算器对于我们研究这样的数学问题，具体会有什么帮助呢？在思维方式上又会产生怎样影响？这些都是本文主要探讨的问题.二、探究过程 （一）我们先来考查 的情形,nN探究 1：当 时， 2mk:1.nCxy（1）用图形计算器作出 、 和 图像.41xy60（2）性质对称性：分别关于直线 、 和 对称；0xyx顶点： 和 （曲线与对称轴
2、的交点）；0,1,、 12,n范围： .xy因为此类曲线和圆的性质类似，我们不妨称之为“圆型曲线”.探究 2：当 时， 2mnkN:1.nCxy（1）用图形计算器作出 、 和 图像.41xy60（2）性质对称性：分别关于直线 和 对称；0xy顶点： （曲线与对称轴的交点）；1,0范围： ,.xyR渐近线： .y因为此类曲线和等轴双曲线的性质类似，我们不妨称之为“双曲线型曲线”.探究 3：当 时，21mnkN:1.nCxy（1）用图形计算器作出 、 和 图像.3xy5（2）（猜想）性质对称性：关于直线 对称（把 与 互换方程的形式不变）；yxy顶点： （曲线与对称轴的交点）；12,n范围： ；x
3、Ry渐近线： .下面我们证明曲线 的渐进线是直线:1nCxy.yx证明：设直线 和曲线 、直线 分别交于0:1nx两点，则AB、 1 1 110002000,n n nnnxx x并且，当 再根据图像的对称性，我们知道 是曲线0,.ABy的渐近线.31xy因为此类曲线形状像 “弓”，为了方便，我们把这类曲线叫“弓型曲线”，它们都有一条渐近线 .x探究 4：当 时， 21mnkN:1.nCxy用图形计算器作出 、 和 图像.3xy51xy从图像可以看出此类曲线和 的性质类似，也是:12,nCxykN“弓型曲线”，它们都有一条渐近线 . 事实上，因为曲线 所以:1,nnny和 的图像关于 轴对称.
4、:1nCxy12,nxykx探究 5：当 时，2,mkllN,:,mnnCyN（1）用图形计算器作出 、 和 图像.231xy651xy471x（2）用图形计算器做出 、 和 图像.231xy651xy471xy可以看出此时曲线 图像是“抛物线型曲线”，开口方,:1,mnnCxyN向取决于 前面的符号.ny（3）性质对称性：关于 轴对称（把 换成 ，方程的形式不变）；x顶点： （开口向下）； （开口向上）；0,10,1范围： （开口向下）； （开口向上）.,yR,yxR探究 6：当 时，2,mknlkN ,:1,mnnCyN（1）用图形计算器作出 、 和 图像.321xy561xy74x（2）
5、用图形计算器做出 、 和 图像.321xy561xy741xy可以看出此时曲线 是 “抛物线型曲线”，开口方向,:1,mnnCxyN取决于 前面的符号，它们的性质与前面探究 5 中“抛物线型曲线”的性质类似.ny（二）我们再来考查 的情形,Q探究 7：当 时，研究 的性质.1,2mnklN,:1mnnCxy用图形计算器作出 和 的图像.12xy14xy124可以看出此时曲线 的图像是部分“类圆型曲线”.:1nCxy探究 8：当 时，研究 的性质.1,2mklN,:1mnnCxy用图形计算器作出 和 的图像.12xy14xy124可以看出此时曲线 的图像是部分 “类圆型曲线”.:1nCxy探究
6、9：当 时，研究 的性质.1,2mnklNkl,:1mnnCxy用图形计算器作出 、 、 和 的图像.13xy135xy15252可以看出此时曲线 的图像是 “类抛物线型曲线”.,:1mnnCxy探究 10：当 时，研究 的性质.1,2klNk,:1mnnCxy用图形计算器作出 、 、 和 的图像.132xy132xy13454可以看出此时曲线 的图像部分 “类圆型曲线”.,:1mnnCxy三、研究结果 探究：当 时，我们研究更一般的曲,kl klmnklNmn 并 且 已 约 ，线 的性质 .,:1Cxy用图形计算器分别作出下列几组曲线的图像.（1） 和24351xy241xy（2） 和43
7、51xy241xy（3） 和5321xy132xy（4） 和5321xy132xy可以看到，每一组的两个图像，除了弯曲程度、走向不同之外，其实他们的结构是相同的.所以当幂指数取一般的正有理数时，曲线 具有的性,:1Cxy,Q质，与前面十次探究的结果类似.我们发现：除去 1 的特殊性之外，偶数指数（包括分子是偶数的分数）类同幂指数2；奇数指数（包括分子和分母都是奇数的分数）类同幂指数 3；开偶次方的指数（包括分母是偶数的分数）类同幂指数 这样我们关心的，有区分度的幂指数的取值集合为.2.因此有理指数幂的两元曲线 的图像和性质可以归结为1,3 1,mnxyQ下表中的十八类，并且第二行每格中的两个图
8、像关于 轴对称，第三行每格中的两个图像x是同一图像的不同部分. 21xy321xy21y3 3x2xy3xyy定理：设 ，若 ，:1,mCyQnNm 且 互 质 0则在第一象限，曲线 的图像总在曲线 图像的上方，并且C当 时， ；,1,| or00xyyx当 时， .0,| r11Cxy分析：用图形计算器分别画出 、 、 、103xy12xy、 和 等曲线的图像.31xy4xyxy证明：（1）在第一象限，曲线 的图像在曲线 图像的上方 当 时，C01x恒成立.1x因为当 且 时， 恒成立，所以在01x111xx第一象限，曲线 的图像在曲线 图像的上方.C（2）记 ，则对任意 因为 ， ，10y
9、0,10lim1li0所以 . 即当 时， .类lim,1,| orxyCyx似地可以证明当 时， 也成立.00,0,| or1xyx推论：当 为偶数时，曲线 所围成图形的面积为 ，则nnnSlim4.n说明：本文所用图形计算器为卡西欧 型，进入图形模块或圆锥曲线模块可20fxCG以方便地绘制所需的函数图像及二次方程曲线，但考虑到该计算器尚不具备直接绘制高次方程曲线的功能，笔者选择将方程 转化为函数 进行处理，这一环节本(,)Fy()yfx身需要等价性转化，从而为问题研究造成了一定阻碍，好在结合简单的代数分析可以顺利解决.比如，由 可得 ，所以该方程曲线可以由两函数图像拼接获41xy14x得；
10、又如，由 易知 ，且 ，所以必须给出相应函120201yx数的自变量 范围.“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，这里稍加变通使图形计算器的核心功能再次凸显，建议计算器开发者考虑增设“任意方程曲线”的绘制功能，则更显完美.生产工具决定生产能力，而数学是一种思维方式，任何一种新的数学硬件工具的介入，必将引起数学思维意识和思维方法的变化，数学产能的升级。那么图形计算器的使用到底会对数学思维方式产生怎样的影响？它到底能给我们的数学教学，学生的学习和研究带来什么？事实上，从激发学生的学习兴趣着手，培养中学生的探究能力和研究精神，图形计算器是目前比较好的一种载体和工具.以上几个问题的研究说明图形计算器可以高效能、批量解决问题，可以帮助我们从特殊到一般归纳猜想出问题的结论，尽管结论的正确性最终还需要严格的理论证明.图形计算器是数学学习和研究的有力工具，它可以形象，具体地帮助我们实验性地介入问题，可以检验我们猜想和结论正确性，把握好研究的方向.
