1、双曲线练习题一、选择题：1已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y4 x，则该双曲线的离心率是 ( A )A. B. C. D.17 15174 1542中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线方程为（ B ）Ax 2y2=1 Bx 2y2=2 C x2y2= Dx 2y2=3在平面直角坐标系中，双曲线 C 过点 P（1，1） ，且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2xy=0，则双曲线 C 的标准方程为（ B ）ABC 或D4.已知椭圆 1（ab0）与双曲线 1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）2xy2axbyA B
2、 C D26365已知方程 =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ）A （1， 3） B （ 1， ） C （0，3） D （0， ）6设双曲线 =1（0ab）的半焦距为 c，直线 l 过（a，0） （0，b）两点，已知原点到直线 l 的距离为 ，则双曲线的离心率为（ A ）A2 B C D7已知双曲线 的两条渐近线与以椭圆 的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲219yxa2159yx165线的离心率为（ A ）A B C D5434658双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、F 2，F 1MF2120，则双曲线的离心率为( B )A. B.
3、C. D.362 63 339已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离是 2，一个顶点到它的一条渐近线的1(0,)xymn距离为 ，则 m 等于( D )613A9 B4 C2 D,310已知双曲线的两个焦点为 F1( ，0)、F 2( ，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足10 10则该双曲线的方程是( A )12120,|,MFAA. y 21 Bx 2 1 C. 1 D. 1x29 y29 x23 y27 x27 y2311设 F1，F 2 是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4| PF2|，则PF 1F2 的面积等y224于( C )A4 B8 C24
4、 D482 312过双曲线 x2y 28 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若 |PQ|7，F 2 是双曲线的右焦点，则PF 2Q 的周长是( C )A28 B148 C148 D82 2 213已知双曲线 =1（b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为（ D ）A =1 B =1 C =1 D =114设双曲线 =1（a 0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，以 F2 为圆心，|F 1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于 A，B 两点，若 3|F1B|=|
5、F2A|，则该双曲线的离心率是（ C ）A B CD215过双曲线 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。12yxA1 B2 C3 D416已知双曲线 C： =1（a0，b0） ，以原点为圆心，b 为半径的圆与 x 轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为 ，则双曲线方程是（ C ）A =1 B =1 C =1 D =117如图，F 1、F 2 是双曲线 =1（a 0，b0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B若ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）A4 B C D
6、18如图，已知双曲线 =1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，|F 1F2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与 y 轴交于点 A，APF 1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，若|PQ |=1，则双曲线的离心率是（B ）A3 B2 C D19已知点 (,0)M， (3,)N， (,0)B，动圆 C与直线 MN切于点 ，过 、 N与圆 C相切的两直线相交于点 ，则 点的轨迹方程为( B )A218yxxB21()8yxxC 182yx（x 0） D2()020.已知椭圆 1C与双曲线 2有共同的焦点 )0,2(1F， ),(2，椭圆的一个短轴端点为 B，直线 F1与双曲线
7、的一条渐近线平行，椭圆 1C与双曲线 的离心率分别为 21e， 则 21e取值范围为（ D ）A. ),2 B. ),4 C. ),4( D. ),(21.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆)0(12bayax的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )A B C D31213222.双曲线 过其左焦点 F1作 x 轴的垂线交双曲线于 A，B 两点，若双曲线右顶点在以2(0,)xyabAB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A )A （2，+） B （1，2）C （ ，+） D （1， ）33223.已知双曲线 )0,(2babyx
8、的右焦点 F，直线 cax2与其渐近线交于A，B 两点，且 AF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ）A. （ 3） B. （1， 3） C. （ 2） D. （1， 2）24我们把离心率为 e 的双曲线 1( a0， b0)称为黄金双曲线给出以下几个说法：双曲线5 12 x2a2 y2b2x2 1 是 黄金双曲线；2y25 1若 b2ac，则该双曲线是黄金双曲线；若F 1B1A2 90，则该双曲线是黄金双曲线；若MON90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确的是( D)A B C D二、填空题：25如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为 e1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为_ _
9、 e 10，b0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)、 F2(c,0)若双曲x2a2 y2b2线上存在点 P，使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是_ (1， 1)sin PF1F2sin PF2F1 ac 229.已知双曲线 x2 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点 Q 的坐标为（ 2，3） ，则|PQ|+|PF1|的最小值为 7三、解答题：30已知 曲线 C： x 21.y2(1) 由曲线 C 上 任一点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F，动点 P 满足 ，求点 P 的轨迹P 的 轨迹可能是3E圆吗？请说明理由；(2) 如果直线 l 的斜率为 ，且过点 M(0
10、，2) ，直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，又 ，求曲线 C2 92MAB的方程31已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2,0，右顶点为 3,0.（）求双曲线 C 的方程（）若直线 :2lykx与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 2O（其中 O为原点） ，求 k 的取值范围32.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 .3(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 与双曲线 C 左支交于 A、B 两点，求 k 的取值范围；2(3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0，m )，求 m 的取值范围33.已知椭圆
11、 C： + =1（ab0）的离心率为 ，椭圆 C 与 y 轴交于 A、B 两点，|AB|=2（）求椭圆 C 的方程；（）已知点 P 是椭圆 C 上的动点，且直线 PA，PB 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点，是否存在点 P，使得以 MN 为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由30.已知 曲线 C： x 21.y2(1)由曲线 C 上 任一点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F，动点 P 满足 ，求点 P 的轨迹P 的 轨迹可3E能是圆吗？请说明理由； (2)如果直线 l 的斜率为 ，且过点 M(0，2)，直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，又2，求
12、曲线 C 的方程92MAB解：(1)设 E(x0，y 0)，P(x，y)，则 F(x0,0)， ，3,FPE(xx 0，y) 3(x x 0，yy 0)0,2.xy代入 x 1 中，得 x 21 为 P 点的轨迹方程当 时，轨迹是圆y20 20 4y29 49(2)由题设知直线 l 的方程为 y x2，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，2联立方程组 消去 y 得：(2)x 24 x40.2,1.yx2方程组有两解，20 且 0，2 或 0，b0)x2a2 y2b2由已知得：a ，c 2，再由 a2b 2c 2，b 21，3双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)设 A(xA，y
13、 A)、B (xB，y B)，将 ykx 代入 y 21，2x23得：(13k 2)x26 kx90.2由题意知Error!解得 k1.33当 k1 时， l 与双曲线左支有两个交点33(3)由(2)得：x Ax B ，62k1 3k2yAy B(kx A )(kx B )k(x Ax B)2 .2 2 2221 3k2AB 的中点 P 的坐标为 .(32k1 3k2， 21 3k2)设直线 l0的方程为：y xm，1k将 P 点坐标代入直线 l0的方程，得 m .421 3k2 k1， 213k 20.m2 .m 的取值范 围为(，2 )33 2 233.已知椭圆 C： + =1（ab0）的
14、离心率为 ，椭圆 C 与 y 轴交于 A、B 两点，|AB|=2（）求椭圆 C 的方程；（）已知点 P 是椭圆 C 上的动点，且直线 PA，PB 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点，是否存在点 P，使得以 MN 为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（）由题意可得 e= = ，2b=2，即 b=1，又 a2c2=1，解得 a=2，c= ，即有椭圆的方程为 +y2=1；（）设 P（m，n） ，可得 +n2=1，即有 n2=1 ，由题意可得 A（0，1） ，B（0，1） ，设 M（4，s） ，N（4，t） ，由 P，A，M 共线可得，k PA=kMA，即为 = ，可得 s=1+ ，由 P，B，N 共线可得， kPB=kNB，即为 = ，可得 s= 1假设存在点 P，使得以 MN 为直径的圆经过点 Q（2，0） 可得 QMQN，即有 =1，即 st=4即有1+ 1=4，化为4m 2=16n2（4m） 2=164m2（4m） 2，解得 m=0 或 8，由 P，A，B 不重合，以及 |m|2，可得 P 不存在
