1、七年级数学培优讲义（2）一、实数：（一） 【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：文字概念：若一个数 x 的平方是 a，那么 x是 a 的平方根；符号概念：若 ，那么 ；逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那ax2ax么 。x2（2）性质：在平方根、算术平方根中，被开方数 a0 式子有意义；在算术平方根中，其结果 是非负数，即 0；计算中的性质 1： （a0） ；2)(计算中的性质 2： ；)(在立方根中， （符号法则）33计算中的性质 3： ；a)(3（3）实数的分类：（二分法） （三分法）负 无 理 数正 无 理 数无 理 数
2、 负 无 理 数零正 有 理 数有 理 数实 数 负 无 理 数负 有 理 数负 实 数零 正 无 理 数正 有 理 数正 实 数实 数（二） 【典例分析】1、利用概念解题：例 1. 已知： 是 的算术数平方根， 是 立方根，18baM423baN求 的平方根。N练习：1. 已知 ，求 的算术平方根与立方根。2342yxyx， xy2若 2a1 的平方根为3 ，a b5 的平方根为2，求 a+3b 的算术平方根。例 2、解方程（x+1） 2=36.练习：（1） （2）9)1(2x 2513）（ x2、利用性质解题：例 1 已知一个数的平方根是 2a1 和 a11，求这个数 变式：已知 2a1
3、和 a11 是一个数的平方根，则这个数是 ；若 2m4 与 3m1 是同一个数两个平方根，则 m 为 。例 2若 y= 1，求（xy） x 的值x例 3x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 例 4已知 与 互为相反数，求 的值.321x3yyx21练习： 1.若一个正数 a 的两个平方根分别为 和 ，求 的值。x13a2052. 若（x3） 2 =0，求 xy 的平方根；1y3. 已知 求 的值.,24xy4. 当 x 满足下列条件时，求 x 的范围。 =x2 = =x)(3x5. 若 ，则 的值是 387a3、利用取值范围解题：例 1. 已知有理数 a 满足 ，求 的值。aa20520
4、42043、利用估算比较大小、计算：估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例 1比较 与 的大小83-71说明：比较大小的常用方法还有：差值比较法：如：比较 1 与 1 的大小。23解 （1 ）（1 ）= 0 ， 1 21 3。2商值比较法（适用于两个正数）如：比较 与 的大小。5-3解： = -11 351-3倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数 a，b，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当 时，ab。来比较 a 与 b 的大小。 （以后介绍）1取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。如：当
5、0” 、 “1） 。15比较下列实数的大小： 12 0.5；1401516一个正方形的面积变为原来的 m 倍，则边长变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的 n 倍，则棱长变为原来的 倍。0b a17计算： 423741()|5|66213618已知一个 2a-1 的立方根是 3，3a+ b+5 的平方根是7，c 是 的整数部分，求13cba的平方根。 19已知 a、 b 满足 ，解关于 的方程 0382bax12abxa20若 ， ， ，求 a+b 的值5a72bab21. 设 2+ 的整数部分和小数部分分别是 x、y，求（x-1） 2+( +8)2 的平方根。6 6y22已知点 A、 B 在数轴上对应的数分别是 a、 b，且 a、 b 满足 ，521aa点 C 是数轴上不同于 A、 B 的一动点，其对应的数为 c。（1）若 C 运动到使 AB=BC 时，求点 C 所对应的数；（2）若 c 满足 ，试化简： )3(2c）（ 3222)()(cbca（3）当 C 运动某一位置时，实数 c 满足 ，试求线段 BC 的长.cc5-3BA 0
