1、1第十四讲 二次函数的同象和性质【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1已知二次函数y=a（x-2） 2+c（a0），当自变量 x分别取 、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，则y 1，2y2，y 3的大小关系正确的是（ ）Ay 3y 2y 1 By 1y 2y 3 Cy 2y 1y 3 Dy 3y 1y 2 对应训练1已知二次函数y= x2-7x+ ，若自变量x分别取x 1，x 2，x 3，且0x 1x 2x 3，则对应的函数值 y1，y 2，y 3的大小52关系正确的是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 2y 3 Cy 2y 3y 1 Dy 2y 3y 1
2、 考点二：二次函数的图象和性质例2 对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法：它的图象与x轴有两个公共点；如果当 x1时 y随x的增大而减小，则m=1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1 ；如果当 x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点对应训练2如图，抛物线y 1=a（x+2） 2-3与y 2= （x-13）+1交于点A （1，3），过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C则以下结论：无论 x取何值， y2的值
3、总是正数； a=1；当x=0时，y 2-y1=4； 2AB=3AC；其中正确结论是（ ）A B C D 2考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：c1；2a+b=0 ；b 24ac；若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x2=2，则正确的结论是（ ）A B C D对应训练3已知二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示对称轴为x= 下列结论中，正确的12是（ ）Aabc0 Ba+b=0 C2b+c0 D 4a+c2b 考点四：抛物线的平移例4 如图，把抛物线y=x 2沿直线
4、y=x平移 个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物2线解析式是（ ）Ay= （ x+1） 2-1 By=（x+1） 2+1 Cy=（x-1 ） 2+1 Dy=（x-1） 2-1 对应训练4已知下列函数y=x 2；y=-x 2；y=（x-1） 2+2其中，图象通过平移可以得到函数y=x 2+2x-3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）【聚焦中考】1二次函数y=a（x+m ） 2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 32如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函
5、数的说法正确的是（ ）Ay的最大值小于0 B当x=0时，y的值大于1C当x=-1 时， y的值大于1 D当x=-3时，y的值小于0 3（2015菏泽）已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）axA B C D4设A（-2，y 1），B（1，y 2），C（2，y 3）是抛物线y=-（x+1） 2+a上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 3y 1y 25已知二次函数y=2（x-3） 2+1下列说法：其图象的开口向下； 其图象的
6、对称轴为直线x=-3；其图象顶点坐标为（3，-1）； 当x 3时，y随x的增大而减小则其中说法正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个46二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出下列结论：b 2-4ac0；2a+b0； 4a-2b+c=0；abc0. 其中正确的是（ ）A B C D7将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）Ay=3（x+2 ） 2+3 By=3（x-2） 2+3 Cy=3（x+2） 2-3 Dy=3（x-2） 2-3【备考真题过关】一、选择题1二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示，则函数值y0时x
7、的取值范围是（ ）Ax-1 Bx3 C-1x3 D x-1或x32已知二次函数y=x 2-4x+5的顶点坐标为（ ）A（-2，-1 ） B（2，1） C （2，-1 ） D（-2，1）3若二次函数y=ax 2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则 a的值为（ ）A1 B C- D-24如图，二次函数y=ax 2+bx+c的图象过（1，1）、（2， 1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ）A当x=0时，y的值大于1 B 当x=3时，y的值小于05C 当x=1时，y的值大于1 Dy的最大值小于05对于二次函数y=2（x+1 ）（x-3 ），下列说法正确的是（ ）A图象的开口向下
8、B当x1时，y随x的增大而减小 C当x1时，y随x的增大而减小 D图象的对称轴是直线x=-1 6已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）对于下列命题：b-2a=0 ；abc0；a-2b+4c0；8a+c0其中正确的有（ ）A3个 B2个 C1个 D0个7将抛物线y=x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）Ay= （ x+2） 2+2 By= （x+2） 2-2 Cy=（x-2 ） 2+2 Dy=（x-2） 2-28在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向
9、上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）A（-2，3） B（-1，4） C （1，4） D （4， 3）9在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2-x-6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ）A1 B2 C3 D6二、填空题10平面直角坐标系中，点A是抛物线 y=a（x-3） 2+k与y轴的交点，点B 是这条抛物上的另一点，且AB x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 11二次函数y=ax 2+bx+c（a，b，c是常数，a0 ）图象的对称轴是直线 x=1，其图象的一部分如图所示对于下列说法：abc0； a-
10、b+c0； 3a+c0； 当-1 x3时，y0其中正确的是 （把正确的序号都填上）612将抛物线y=x 2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 13.函数y=（x-1） 2+2的图象绕原点旋转180 后得到的图象的解析式为 14如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-16，0）和原点O（0，0），它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线y= x2交1于点Q，则图中阴影部分的面积为 三、解答题15知：抛物线y= （x-1） 2-334（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，
11、求直线PQ的函数解析式第十五讲 二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1 如图，已知二次函数y=x 2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标对应训练1已知抛物线y=-x 2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标7考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 已知二次函数y=x 2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是（ ）Ax 1=1，x 2=-1
12、Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=3对应训练2二次函数y=2x 2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ）A-8 B.8 C8 D6考点三：二次函数的实际应用例3 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门
13、规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？考点四：二次函数综合性题目例4 如图，已知抛物线y=ax 2+bx-2（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tanDBA= 1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由对应训
14、练4如图，抛物线y=ax 2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正8半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【聚焦中考】1如图，RtOAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax 2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为
15、（ ）A（ ， ） B（2，2） C（ ，2） D（2， ）2如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积93如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次
16、函数y=ax 2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-， 0），以0C为直径作半圆，圆心为D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由7如图，抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点C（0，-14），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）
17、若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标8如图，抛物线y=ax 2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2， ）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-322（k0）的图象，点O是坐标原点（1）求抛物线的解析式；10（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若
18、存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由【备考真题过关】一、选择题1已知函数y=x 2+2x-3，当x=m时，y0，则m的值可能是（ ）A-4 B0 C2 D32若二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1x 2，图象上有一点M（x 0，y 0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）Aa0 Bb 2-4ac0Cx 1x 0x 2 Da（x 0-x1）（x 0-x2）0二、填空题3若函数y=mx 2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 4如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax 2上，P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）三、解答题5如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
