1、高等数学总复习指导（2）1 导数的概念导数定义：函数 在 点及其某个邻域内有定义，对应于自变量 在 的改变量)(xfy0 x0 ，函数 相应的改变量 ，如果当x0 )(00fxfy时，极限 存在，则称此极限值为函数xfxy)(limli00在 点处的导数。)(xfy例 1 若函数 在 点可导，则下列式子中（ ）是错误的。)(xfy0A B)(lim00xffx )(2)()(lim000 xfxffx C D)()(li 000 fxfx )()(li0ftfft 解 选择 A。根据定义可知 A 中式子 )()(lim)(lim00000 xfxffxff xx 故 A 是错误的。B 中 )(
2、2 )()(lim)(0 0000xf xxfffxfxC 中设 ，则 ，代入 C 式中，即为导数定义式。0D 中设 t ，则 D 式即为导数定义式。了解导数的几何意义及物理意义，会求曲线的切线方程和法线方程。例 2 求曲线 上与直线 平行的切线方程，与直线 垂直的法线方程。xylnxy2xy2解 直线 的斜率为 2，曲线 的斜率 ，得ln1xy1代入曲线方程得 l1lny故切线方程为 )21(lnxy即 12x请同学们自己计算一下与直线 垂直的法线方程。xy（答案： ）2ln4xy2 了解微分的概念： 。了解可导、可微的概念，知道可导与可微是等价的，xfyd)(了解函数在 处连续是可导的必要
3、条件，但不是充分条件，即 在 可导，则0x )(xf0在 必连续，反之不然。)(f3 导数和微分的计算（1）牢记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。（2）熟练掌握复合函数求导法则：若 均可导，则 ，并会)(),(xufydxufy推广到多个中间变量的情形。（3）掌握隐含数的微分法，正确地求出隐含数的一阶导数。（4）掌握用参数形式表示的函数的一阶导数求法。（5）了解一阶微分形式的不变性： ，不论 x 为中间变量还是自变量，总具xfyd)(有该形式。（6）了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。例 3 求下列函数的导数或微分（1） ，求 。)1cosln(2xyy（2） ，
4、求 。2tgsied（3）由方程 确定了 y 是 x 的函数，求 （0） 。)0()co(yxy y（4）求曲线 在 处的切线方程。tyx21解 （1） )1cos(1cos22 xx)1(cos21cos22 xx)1(sinc1os1cs 222 xxx)1cos2in1(cos22xx（2） 2tg)(1ey 2tgein2则 d2t2cos(xx xxd)sc1st2（3）方程两端对 x 求导，得 )(sin(2y故 2)si(12xxy将 x=0 代入原方程中，得 ，0cosy4,22y于是 （0） 。y（4）由 ，得txtt12, 23)1(txydt由于 时0t )0(,y故所求
5、切线方程为 。x第三章 导数的应用本章重点：1了解拉格朗日种植定理的条件和结论，会用其证明简单的不等式。知道罗尔定理和柯西的条件和结论。2掌握洛必塔法则，能用其求“ ”、 “ ”型不定式的极限，以及较简单的“ ” 0、 “ ”型不定式的极限。0例 1 求下列极限（1） （2）xx2tg)3sinl(im0xex2sin1colm0解 （1） xxt)sil(i0 xx2sec3i1li0 23os)in(lim0xx（2） ex2sin1colm0exx2csoli013掌握用一阶导数判别函数增减性的方法，会求函数的增减区间。4理解函数极值点与极值的概念，知道极值存在的必要条件，熟练掌握用一阶
6、导数求函数极值的方法（极值点的充分条件） 。知道极值点和驻点的区别与联系。5了解曲线凹凸的概念，掌握用二阶导数判断曲线凹凸的方法，会求曲线的拐点。例 2 求曲线 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点。12xy解 2)(驻点为 x单调增加区间是 ，单调减少区间是)1,( ),1(极大值点是 ，极小值点是 1x32)(xy凹区间是 ，凸区间是),(0,)3,0(,(拐点 。3)(6熟练掌握求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值的方法，以几何问题为主。例 3 在半径为 R 的半球内作一内接圆柱体，求其体积最大时的底面半径和高。解 设圆柱体的底面半径为 x，则其高为 ，于是圆柱体体积为2xR22xV求导得 2232 )3(xRxxRx 令 ，得驻点0xRx32,0根据实际意义知 应舍去，故取 。因 时， ；x32,0Rx32x320xV时， ，故 是 V 的极大值点，从而也是 V 的最大值点。Rx32xVR故体积最大时，底面半径和高分别是 和 。321
