1、专题 07 三角变换及解三角形2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点1若 tan ，则 cos2 2sin2 等于( )34A. B. C1D.6425 4825 1625答案 A解析 tan ，则 cos2 2sin2 34 cos2 2sin2cos2 sin2 .1 4tan1 tan2 64252在ABC 中，若 AB ，BC3，C120，则 AC 等于( )13A1B2C 3D4答案 A解析 由余弦定理得 AB2AC 2BC 22AC BCcosC，即 13AC 292AC3cos120，化简得AC23AC40，解得 AC1 或 AC4(舍去) 故选 A.3方程 3sinx 1c
2、os2x 在区间0,2上的解为_答案 ，6 56解析 3sinx 22sin 2x，即 2si n2x3sin x20，(2sinx1)(sinx2)0，sinx ，x ， .12 6 564在锐角三角形 ABC 中，若 sinA2sinB sinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是_答案 8解析 在ABC 中，AB C，sinAsin(BC) sin(B C )，由已知，sinA2sinBsinC，sin(BC)2sinBsinC.sinBcosCcosBsinC2sinBsin C，A，B，C 全为锐角，两边同时除以 cosBcosC 得：来源:Zxxk.ComtanBtanC 2
3、tanBtan C.又 tanAtan(BC) .tanB tanC1 tanBtanC tanB tanCtanBtanC 1tanA (tanBtanC1)tanBtanC .则 tanAt anBtanCtanAtan Btan C，tanA tanBtanCtan AtanBtanCtan A2tanBtanC2 ，2tanAtanBtanC 2 ，tanAtanBtanC 2tanA tanBtanC8.5在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cosA ，sinB cosC，并且 a ，则23 5 2ABC 的面积为_ 答案 526若 (0， )，则 的最
4、大值为_2 sin2sin2 4cos2答案 12解析 (0， )，2 且 tan 0，sin2sin2 4cos2 2sincossin2 4cos2 2tantan2 4 (当且仅当 tan 2 时等号成立 )，故 的最大值为 .2tantan2 4 2tan 4tan 224 12 sin2sin2 4cos2 127如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_ _m.答案 100 6解析 在ABC 中，AB 600，BAC 30，
5、ACB 753045，由正弦定理得 BCsinBAC，即 ，所以 BC300 .在 RtBCD 中，CBD30，ABsinACB BCsin30 600sin45 2CDBCtan CBD300 tan30100 .2 68已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边， a2，且(ab)(sinAsinB)(cb )sinC，则ABC 面积的最大值为_答案 3解析 ，a2，asinA bsinB csinC又(ab)(sin A sinB)(c b)sinC ，可化为(ab)(a b)(cb) c，a 2b 2c 2bc ，b 2c 2 a2bc. cosA，A60.b2 c2
6、 a22bc bc2bc 12ABC 中，4a 2b 2c 22bccos60b 2c 2bc2bc bcbc(“”当且仅当 bc 时取得)，S ABC bcsinA 4 .12 12 32 39已知函数 f(x) sin xcos xcos 2 x( 0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在ABC 中， sinB，sin A， sinC 成等比数列，求此时 f(A)的值域(2)由(1)知 f(x)sin(3x ) ，6 12易得 f(A)sin(3A ) .6 12因为 sinB，sinA，sinC 成等比数列，所以 sin2AsinBsinC，所以 a2bc，所以 cosA b
7、2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc 2bc bc2bc (当且仅当 bc 时取等号)，12因为 00，6 35所以 为锐角， sin( ) ，6 6 45则 sin(2 ) 2sin( )cos( )2 .3 6 6 45 35 2425又 cos(2 )sin(2 )，6 3所以 cos(2 ) .6 2425【变式探究】(1)已知 sin ，cos2 ，则 sin 等于( )( 4) 7210 725A. B C D. 来源:ZXXK45 45 35 35(2) 等于( )3cos10 1sin170A4 B2C2 D4答案 (1)D (2)D解析 (1)由 sin ，( 4)
8、7210得 sin cos cos sin ，4 4 7210即 sin cos ，75又 cos2 ，所以 cos2 sin 2 ，725 725即(cos sin )(cos sin ) ，725因此 cos sin .15由得 sin ，故选 D.35(2) 3cos10 1sin170 3cos10 1sin10 3sin10 cos10sin10cos10 2sin10 3012sin20 4， 2sin2012sin20故选 D.【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目
9、所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解【锦囊妙计，战胜自我】1三角求值“三大类型”“给角求值” 、 “给值求值” 、 “给值求角” 2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan45 等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦易
10、错起源 2、正弦定理、余弦定理例 2、(1)(2016 课标全国丙 )在ABC 中，B ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于( )4 13A. B. C D31010 1010 1010 31010(2)(2015北京 )在ABC 中，a3，b ，A ，则 B_.623答案 (1)C (2)4(2)由正弦定理得 sinB ，bsinAa 6sin233 22因为 A 为钝角，所以 B .4【变式探究】如图，在ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分B AC，ABD 面积是ADC 面积的 2倍(1)求 ；sinBsinC(2)若 AD1， DC ，求 BD 和 AC 的长22解 (
11、1)S ABD ABADsin BAD，12SADC ACADsinCAD.12因为 SABD 2 SADC ，BADCAD，所以 AB2AC .由正弦定理可得 .sinBsinC ACAB 12(2)因为 SABD S ADC BDDC，所以 BD .2在ABD 和ADC 中，由余弦定理知AB2AD 2BD 22ADBDcosADB，AC2AD 2DC 22ADDC cosADC.故 AB22AC 2 3AD2BD 22DC 26，由(1)知 AB2AC，所以 AC1.【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理 ，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适
12、用，同时要注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构” ，这是使问题获得解决的突破口来源:ZXXK【锦囊妙计，战胜自我】1正弦定理：在ABC 中， 2R(R 为ABC 的外接圆半径)变形：asinA bsinB csinCa2RsinA，sinA ，abcsin AsinBsin C 等a2R2余弦定理：在ABC 中，来源:a2b 2c 22bccosA；变形：b 2c 2a 22bc cosA，cosA .b2 c2 a22bc易错 起源 3、解三角形与三角函数的综合问题例 3 (2015山东)设 f(x)sin xcosxcos 2 .(x 4)(1)求 f(x)的单调区间；(2)在
13、锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f 0，a1，求ABC 面积的最大值(A2)解 (1)由题意知 f(x) sin2x2 1 cos(2x 2)2 sin2x .sin2x2 1 sin2x2 12由 2k2x 2k，kZ ，2 2可得 kx k，kZ ；4 4由 2k2x 2k，kZ ，2 32可得 kx k，kZ .4 34所以 f(x)的单调递增区间是(kZ)； 4 k，4 k单调递减区间是 (kZ)4 k，34 k【变式探究】已知函数 f(x)cos 2x2 sinxcosxsin 2x.3(1)求 f(x)的最小正周期和值域；(2)在ABC 中，角 A，B
14、，C 所对的边分别是 a，b，c，若 f( )2 且 a2bc ，试判断ABC 的形状A2解 (1)f(x) cos 2x2 sinxcosxsin 2x3 sin2xcos2x32sin(2x )，6所以 T，f(x) 2,2(2)因为 f( )2sin(A )2，A2 6所以 sin(A )1.6因为 0A，所以 A ，6 2所以 A .3由 a2b 2c 22bc cosA 及 a2bc，得(bc )20，所以 bc ，所以 BC .3所以ABC 为等边三角形.【名师点睛】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求【锦囊妙计，战胜自我】解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状1已知 为锐角，cos ，tan( ) ，则 tan 的值为( )35 13A. B313C. D.913 139答案 B解析 由 为锐角，cos ，得 sin ，35 45tan ， tan() ，43 13tantan () 3.tan tan 1 tantan 2tan70tan50 tan70tan50的值等于( )3A. B.333C D33 3答案 D解析 因为 tan120 ，tan70 tan501 tan70tan50 3
