1、1 ， 是两个平面，m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m ，n ，那么 .如果 m ，n ，那么 mn.如果 ，m ，那么 m .如果 mn， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 当 mn，m ，n 时，两个平面的位置关系不确定，故 错误，经判断知均正确，故正确答案为.2.如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB 1 3a，点 D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF_时，CF平面 B1DF.答案 a 或 2
2、a3如图，正方形 BCDE 的边长为 a，已知 AB BC，将ABE 沿边 BE 折起，折起后 A 点在平面3BCDE 上的射影为 D 点，对翻折后的几何体有如下描述：AB 与 DE 所成角的正切值是 ；2ABCE；来源:V BACE是 a3；16平面 ABC平面 ADC.其中正确的是_(填写你认为正确的序号 )答案 解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：CEAD，又 BDAD D，BD 平面 ABD，AD平面 ABD，4.如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCa，ABC60，平面 ACEF平面 ABCD，四边形 ACEF 是平行四边形，点 M 在线段 EF 上(1)求证：BC
3、平面 ACEF；(2)当 FM为何值时，AM 平面 BDE？证明你的结论(1)证明 在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD DCa，ABC60，来源:ADC 是等腰三角形，且BCDADC120，DCADAC30，ACB90，即 BCAC.又平面 ACEF平面 ABCD，平面 ACEF平面 ABCDAC，BC 平面 ABCD，BC平面 ACEF.(2)解 当 FM a 时，AM 平面 BDE.33证明如下：5如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；
4、( 2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)由已知，DE 为ABC 的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得 ACA 1C1，DEA 1C1，且 DE平面 A1C1F，A 1C1平面 A1C1F，DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1平面 A1B1C1，AA 1A 1C1，又A 1B1A 1C1，且 A1B1AA 1A 1，A 1C1平面 ABB1A1，B 1D平面 ABB1A1，A 1C1B 1D，又A 1FB 1D，且 A1FA 1C1A 1，B 1D平面 A1C1F，又B 1D平面 B1DE，平面 B1DE 平面 A1C1F.6如图 1，在正A
5、BC 中，E，F 分别是 AB，AC 边上的点，且 BEAF2CF.点 P 为边 BC 上的点，将AEF 沿 EF 折起到A 1EF 的位置，使平面 A1EF平面 BEFC，连接 A1B，A 1P，EP，如图 2 所示(1)求证：A 1EFP；(2)若 BPBE，点 K 为棱 A1F 的中点，则在平面 A1FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由(1)证明 在正ABC 中，取 BE 的中点 D，连接 DF，如图 1.图 1来源:学_科_网 Z_X_X_K所以 A1E平面 BEFC.因为 FP平面 BEFC，所以 A1EFP.(2)解 在平
6、面 A1FP 上存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行理由如下：如图 1，在正ABC 中，因为 BPBE，B EAF ，所以 BPAF，所以 FPAB，所以 FPBE.如图 2，取 A1P 的中点 M，连接 MK，图 2易错起源 1、空间线面位置关系的判定例 1、(1)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l 1 在平面 内，l 2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( )Al 与 l1，l 2 都不相交Bl 与 l1，l 2 都相交Cl 至多与 l1， l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l 2 中的一条相交(2)关于空间两条直线 a、b 和平面 ，下列命题正确的
7、是 ( )A若 ab，b ，则 a B若 a ，b ，则 abC若 a ，b ，则 a bD若 a ，b ，则 a b答案 (1)D (2)D解析 (1)若 l 与 l1，l 2 都不相交，则 ll 1，l l 2，l 1l 2，这与 l1 和 l2 异面矛盾，l 至少与 l1，l 2 中的一条相交(2)线面平行的判定定理中的条件要求 a ，故 A 错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故 B 错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故 C 错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故 D 正确，故选 D.【变式探究】设 m，n 是两条
8、不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 mn，m ，则 n ；若 m ，m ，则 ；若 mn，m ，则 n ；若 m ，m ，则 .其中真命题的个数为( )A1B2C 3D4答案 B【名师点睛】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全 引用到立体几何中【锦囊妙计，战胜自我】空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时
9、可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断易错起源 2、空间平行、垂直关系的证明来源:学|科|网 Z|X|X|K例 2、如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面 PDA；(2)证明：BCPD ；(3)求点 C 到平面 PDA 的距离(1)证明 因为四边形 ABCD 是长方形，所以 BCAD，因为 BC平面 PDA，AD 平面 PDA，所以 BC平面 PDA.(2)证明 因为四边形 ABCD 是长方形，所以 BCCD，因为平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面ABCD
10、CD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 PDC，因为 PD平面 PDC，所以 BCPD .(3)解 如图，取 CD 的中点 E，连接 AE 和 PE.因为 PDPC，所以 PECD，在 RtPED 中，PE .PD2 DE2 42 32 7因为平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCDCD，PE平面 PDC，所以 PE平面 ABCD.由(2)知：BC平面 PDC，由(1)知：BCAD ，所以 AD平面 PDC，因为 PD平面 PDC，所以 ADPD .设点 C 到平面 PDA 的距离为 h，因为 V 三棱锥 CPDAV 三棱锥 PACD，所以 SPDA h SACD PE，13
11、13即 h ，SACDPESPDA1236 71234 372所以点 C 到平面 PDA 的距离是 .372【变式探究】如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，且 BC2AD，ADCD，PB CD ，点 E 在棱PD 上，且 PE2ED.(1)求证：平面 PCD平面 PBC；(2)求 证：PB平面 AEC.因为 ADBC，所以ADO CBO，所以 DOOB ADBC12，又 PE2 ED，所以 OEPB，又 OE平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.【名师点睛】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线
12、同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质； 勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ，a la.【锦囊妙计，战胜自我】空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化易错起源 3、平面图形的折叠问题例 3、如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，DAB60，点 E，F 分别是边 CD，CB 的中点，ACEFO，沿 EF 将CEF 翻折到PEF，连接 PA，PB，PD，得到如图的五棱锥 PABFED，且PB .10(1)求证：BD PA；(2)求四棱锥 PBFED 的体积
