1、专题 09 等差数列与等比数列2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点1已知等差数列 an前 9项的和为 27， a108，则 a100等于( )A100B99C98D97答案 C解析 由等差数列性质，知 S9 9 a527，得 a53，而 a108，因此公差9 a1 a92 92a52d 1，a10 a510 5 a100 a1090 d98，故 选 C.2设等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a10， a3 a100， a6a70的最大自然数 n的值为( )A6 B7C12 D13答案 C解析 a10， a6a70， a70， a1 a132 a70， S130的最大自然数 n的值为
2、 12.3已知各项不为 0的等差数列 an满足 a42 a 3 a80，数列 bn是等比数列，且 b7 a7，则 b2b1227等于( )A1 B2C4 D8答案 C解析 设等差数列 an的公差为 d，因为 a42 a 3 a80，所以 a73 d2 a 3( a7 d)0，即27 27a 2 a7，解得 a70(舍去)或 a72，所以 b7 a72.因为数列 bn是等比数列，所以 b2b12 b 4.27 274已知各项都为正数的等比数列 an满足 a7 a62 a5，存在两 项 am， an使得 4 a1，则 的aman1m 4m最小值为( )A. B.32 53C. D.256 43答案
3、 A5定义在(，0)(0，)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列 an， f(an)仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数” 现有定义在(，0)(0，)上的如下函数： f(x) x2； f(x)2 x； f(x) ； f(x)ln| x|.|x|则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( )A BC D答案 C解析 等比数列性质， anan2 a ，2n 1 f(an)f(an2 ) a a ( a )2 f2(an1 )；2n 2n 2 2n 1 1n ； f(an)f(an2 ) f2(an1 )；|anan 2| |an 1|2 f(an)f(an2 )ln| a
4、n|ln|an2 |(ln| an1 |)2 f2(an1 )故选 C.6已知 an为等差数列， Sn为其前 n项和若 a16， a3 a50，则 S6_.答案 6解析 a3 a52 a40， a40.又 a16， a4 a13 d0， d2. S666 (2)6.6 6 127已知 an是等差数列， Sn是其前 n项和若 a1 a 3， S510，则 a9的值是_2答案 20解析 设等差数列 an公差为 d，由题意可得：Error!解得Error!则 a9 a18 d48320.8设等比数列 an满足 a1 a310， a2 a45，则 a1a2an的最大值为_答案 64解析 设等比数列 a
5、n的公比为 q，Error!Error!解得Error! a1a2an (3)(2)( n4)(12) 2749(7)(),n nN *，当 n3 或 4时， 取到最小值6，12(n 72)2 494此时179()2取到最大值 2664， a1a2an的最大值为 64.9若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则 lna1ln a2ln a20_.答案 50解析 数列 an为等比数列，且 a10a11 a9a122e 5， a10a11 a9a122 a10a112e 5， a10a11e 5，ln a1ln a2ln a20ln( a1a2a20)ln( a10
6、a11)10ln(e 5)10lne 5050.10已知数列 an， bn满足 a1 ， an bn1， bn1 (nN *)，则 b2015_.12 bn1 a2n答案 20152016解析 an bn1，且 bn1 ，bn1 a2n bn1 ， a1 ，且 a1 b11，12 bn 12 b1 ， bn1 ， 1.12 12 bn 1bn 1 1 1bn 1又 b1 ， 2.12 1b1 1数列 是以2 为首项，1 为公差的等差数列， n1， bn .1bn 1 1bn 1 nn 1则 b2015 .20152016易错起源 1、等差数列、等比数列的运算例 1、(1)已知数列 an中， a
7、3 ， a7 ，且 是等差数列，则 a5等于( )76 1514 1an 1A. B. C. D.109 1110 1211 1312(2)已知等比数列 an的各项都为正数，其前 n项和为 Sn，且 a1 a79， a42 ，则 S8等于( )2A15(1 ) B152 (122)C15 D15(1 )或 15(1 )2 222答案 (1)B (2)D解析 (1)设等差数列 的公差为 d，则 4 d， 4 d，解得 d2.1an 1 1a7 1 1a3 1 11514 1 176 1 2 d10，解得 a5 .1a5 1 1a3 1 1110(2)由 a42 ，得 a1a7 a 8，故 a1，
8、 a7是方程 x29 x80 的两根，所以Error!或Error!因为等比2 24数列 an的各项都为正数，所以公比 q0.当Error!时 q ，所以6a7a1 2S8 15(1 )；11 2 81 2 2当Error!时， q ，所以 S8 15 .故选 D.6a7a1 2281 (22)81 22 (1 22)【变式探究】(1)已知 an是等差数列，公差 d不为零若 a2， a3， a7成等比数列，且 2a1 a21，则a1_， d_ _.(2)已知数列 an是各项均为正数的等比数列， a1 a21， a3 a42，则 log2_.a2013 a2014 a2015 a20163答案
9、(1) 1 (2)100623【名师点睛】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量【锦囊妙计，战胜自我】来源:ZXXK1通项公式等差数列： an a1( n1) d；等比数列： an a1qn1 .2求和公式等差数列： Sn na1 d；n a1 an2 n n 12等比数列： Sn (q1)a1 1 qn1 q a1 anq1 q3性质若 m n p q，在等差数列中 am an ap aq；在等比数列中 aman apaq.易错起源 2、等差数列、等比数列的判定与证明例 2、已知数列
10、 an的前 n项和为 Sn (nN *)，且满足 an Sn2 n1.(1)求证：数列 an2 是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)求证： 6.即实数 的取值范围为(6，)【变式探究】已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn13( an1)， nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足 13()2nabn，若 bn t对于任意正整数 n都成立，求实数 t的取值范围【名师点睛】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前 n项和可以看作关于 n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题来源:Z。xx。k
11、.Com(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解【锦囊妙计，战胜自我】解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解1在等差数列 an中，若 a4 a6 a8 a10 a12120，则 2a10 a12的值为( )A20 B22C24 D28答案 C解析 由 a4 a6 a8 a10 a12( a4 a12)( a6 a10) a85 a8120，解得a824， a8 a122 a10，2 a10 a12 a824.2已知在等差数列 an中， a1120， d4，若 Sn an
12、(n2)，则 n的最小值为( )A60 B62C70 D72答案 B解析 由题意可知， Sn na1 d2 n2122 n， an a1( n1) d1244 n，由 Sn an得n n 122 n2126 n124，解得 n1 或 n62，又 n2， n62，故选 B.3在等比数列 an中， a14，公比为 q，前 n项和为 Sn，若数列 Sn2也是等比数列，则 q等于( )A2 B2C3 D3答案 C解析 由题意可得 q1，由数列 Sn2是等比数列，可得 S12， S22， S32 成等比数列，所以(S22) 2( S12)( S32)，所以(64 q)224(1 q q2)12， q3(
13、 q0 舍去)故选 C.4某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是(参考数据： lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)( )A2018 年 B2019 年C2020 年 D2021 年答案 B解析 设 x年后该公司全年投入的研发资金为 200万元，由题可知，130(112%) x200，解得xlog 1.12 3.80，因资金需超过 200万，则 x取 4，即 2019年故选 B.200130 lg 2 lg 1.3lg 1.125函数 f(x)Error!若数列 an满足 an f(n) (nN *)，且 an是递增数列，则实数 a的取值范围是( )A. B.94， 3) (94， 3)C(2,3) D(1,3)答案 C解析 因为 an f(n) (nN *)， an是递增数列，所以函数 f(x)Error!为增函数需满足三个条件Error!解不等式组得实数 a的取值范围是(2,3)，故选 C.
