1、专题 10 数列求和及其应用2017 年高考数学（理）备考学易黄金易错点1已知数列a n的通项公式为 an ，其前 n 项和为 Sn，若存在 MZ，满足对任意的n 22nnn 1nN *，都有 Sn0)，且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn.2n 1an5S n为等差数列a n的前 n 项和，且 a11，S 728.记 bnlg an，其中x 表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求 b1，b 11，b 101；(2)求数列b n的前 1000 项和6已知数列a n的前 n 项和 Sn3n
2、 28n，b n是等差数列，且 anb nb n1 .(1)求数列b n的通项公式；(2)令 cn ，求数列c n的前 n 项和 Tn.an 1n 1bn 2n易错起源 1、分组转化求和例 1、等比数列a n中，a 1，a 2，a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a 2，a 3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行来源: 9 818来源:学_科_网 Z_X_X_K(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：b na n( 1) nlnan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.【变 式探究】设数列 an的
3、前 n 项和为 Sn，已知 a11，a 22，且 an2 3S nS n1 3，nN *.(1)证明：a n2 3a n；(2)求 Sn.【名师点睛】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些 项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式【锦囊妙计，战胜自我】有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数 列，即先分别求和，然后再合并易错起源
4、2、错位相减法求和例 2、已知数列a n的前 n 项 和为 Sn，且有 a12,3S n5 ana n1 3S n1 (n2)(1)求数列a n的通项公式；(2)若 bn(2 n 1)an，求数列b n的前 n 项和 Tn.【变式探究】已知正项数列a n的前 n 项和 Sn满足：4S n (an1)(a n3)(nN *)(1)求 an；(2)若 bn2 nan，求数列b n的前 n 项和 Tn.【名师点睛】(1)错位相减法适用于求数列 anbn的前 n 项和，其中 an为等差数列， bn为等比数列；(2)所谓“错位” ，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定
5、要查清其项数(3)为保证结果正确，可对得到的和取 n1,2 进行验证【锦囊妙计，战胜自我】来源:学|科| 网 Z|X|X|K错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a nbn的前 n项和，其中a n，b n分别是等差数列和等比数列来源:易错起源 3、裂项相消法求和例 3 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 223a 72，且 ， ，S 3 成等比数列，nN *.1a2 S2 3(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn，若对于任意的 nN *，都有 8Tn2 25 成立，求实2anan 2数 的取值范围【变式
6、探究】(1)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，a 22，S 515，若 的前 m 项和为 ，则1anan 1 910m 的值为( )A8B9C 10D11(2)已知数列a n的通项公式为 anlog 2 (nN *)，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn5 成立的正整数 nn 1n 2有( )A最小值 63 B最大值 63C最小值 31 D最大值 31【名师点睛】(1)裂项相消法的基本思想就是把通项 an分拆成 anb n kb n(k1，kN *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列a n的通项公式，使之符合裂项相消的条件(2)常用的裂项公式
7、 ( )；1nn k 1k1n 1n k ( )；12n 12n 1 12 12n 1 12n 1 ( )1n n k 1k n k n【锦囊妙计，战胜自我】裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或 (其中 an为等差数列)等形式的数列求和1anan 1 1anan 21已知数列 1 ，3 ，5 ，7 ，则其前 n 项和 Sn为( )12 14 18 116An 21 Bn 2 212n 12nCn 21 Dn 2 212n 1 12n 12已知在数列a n中，a 160，a n1 a n3，则|a 1|a 2|a 3| a30|等于( )A4
8、45 B765 来源:ZXXKC1080 D31053已知 Sn为数列a n的前 n 项和，若 an(4cos n)n(2cosn)，则 S20 等于( )A31B122C324D4844设数列a n满足：a 12，a n1 1 ，记数列a n的前 n 项之积为 Tn，则 T2016 的值为( )1anA B112C. D11251 的值为 ( )(1 12) (1 12 14) (1 12 14 1210)A18 B20129 1210C22 D181211 12106设 f(x) ，若 Sf( )f( )f( )，则 S_.4x4x 2 12015 22015 201420157在数列a
9、n中，a 11，a n 2(1) nan1，记 Sn是数列a n的前 n 项和，则 S60_.8定义 为 n 个正数 p1，p 2，p n的“均倒数”，若已知数列 an的 前 n 项的“均倒数”np1 p2 pn为 ，又 bn ，则 _ _.15n an5 1b1b2 1b2b3 1b10b119在等差数列a n中，a 24，a 4a 715.(1)求数列a n的通项公式；(2)设2b ，求 b1b 2b 3b 10 的值10已知在数列a n中，a 11，当 n2 时，其前 n 项 和 Sn满足 S a n(Sn )2n12(1)求 Sn的表达式；(2)设 bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn，证明 Tn .Sn2n 1 12
