1、专题 13 立体几何中的向量方法1直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.110 25 3010 222.如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是( )A ，1 B ，133 63C ， D ，163 223 2233如图 ，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 在直线 BC1 上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD
2、1PC 的体积不变； 直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变；二面角 PAD 1C 的大小不变其中真命题的序号是_4已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别为 BB1、CD 的中点，则点 F 到平面 A1D1E的距离为_5.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1AB AC 1，点 E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA 1B1，点 D 为棱 A1B1 上的点(1)证明：DF AE；(2)是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位1414置，若不存在，说明理由6如图，在以 A，B，C
3、，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD ，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEFEFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值易错起源 1、利用向量证明平行与垂直例 1、如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点运用向量方法证明：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，点 E，F 分别是 PC，PD的中点，PAAB 1，BC2.
4、(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.【名师点睛】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方 法证明直线 ab，只需证明向量 a b( R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外【锦囊妙计，战胜自我】设直线 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)，平面 ， 的法向量分别为 ( a2，b 2，c 2)，v( a3，b 3，c 3)则有：(1)线面平行l a a 0a 1a2b 1b2c 1c20.(2)线面垂直l
5、 a ak a1 ka2，b 1kb 2，c 1kc 2.(3)面面平行 v va2 a3，b 2 b3，c 2 c3.(4)面面垂直 v v0a 2a3b 2b3c 2c30.易错起源 2、利用空间向量求空间角例 2、如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABCBAD ，PAAD2，ABBC1.2(1)求平面 PAB 与平面 PC D 所成二面角的余弦值； 来源:(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长【变式探究】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面ABC 是直角三角形，AB
6、AC1，AA 12，点 P 是棱 BB1 上一点，满足 (0 1)BP BB1 (1)若 ，求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值； 来源:Zxxk.Com13(2)若二面角 PA1CB 的正弦值为 ，求 的值23【名师点睛】(1)运用空间向量坐标运算求空 间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角注意：两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 ，即 cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量
7、夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化【锦囊妙计，战胜自我】设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a 1，b 1，c 1)，b(a 2，b 2，c 2)平面 ， 的法向量分别为 (a 3，b 3，c 3)，v ( a4，b 4，c 4)(以下相同)(1)线线夹角设 l，m 的夹角为 (0 )，2则 cos .|ab|a|b|(2)线面夹角设直线 l 与平面 的夹角为 (0 )，2则 sin |cosa， |.|a|a|(3)面面夹角设平面 、 的夹角为 (0 )，则|cos | |cos ，v|.|v|v|易错起源 3、利用空间向量求解探索性问题例 3、如图所示，四边形 ABCD 是边长为
8、 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且MDNB 1，E 为 BC 的中点(1)求异面直线 NE与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由【变式探究】如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB ，且 AEBP.来源:Zxxk.Com(1)设点 M 为棱 PD 的中点，求证：EM平面 ABCD；(2)线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点25N 的位
9、置；若不存在，请说明理由【名师点睛】来源:Z,xx,k.Com空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法【锦囊妙计，战胜自我】存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等) 是否存在或某一结论是否成立解决这类 问 题的基本策略是先假设题中的数学对象存在( 或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，
10、若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论1已知平面 ABC，点 M 是空间任意一点，点 M 满足条件 ，则直线 AM( )OM 34OA 18OB 18OC A与平面 ABC 平行B是平面 ABC 的斜线C是平面 ABC 的垂线D在平面 ABC 内2.如图，点 P 是单位正方体 ABCDA1B1C1D1 中异于 A 的一个顶点，则 的值为( )AP AB A0 B1C0 或 1 D任意实数3在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0)，B(2, 2,0)， C(0,2,0)，D (1,1， )若 S1，S 2，S 3 分别是2三棱锥 DABC 在 xOy，yOz，zOx 坐标平
11、面上的正投影图形的面积，则( )AS 1S 2S 3 BS 2 S1 且 S2S3CS 3S 1 且 S3S2 DS 3 S2 且 S3S14如图，三棱锥 ABCD 的棱长全相等，点 E 为 AD 的中点，则直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )A. B.36 32C. D.336 125已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.64 104 22 326正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD1 上运动，则 的取值范围是DC AP _7在一直角坐标系中，已知点
12、 A(1,6) ，B(3，8)，现沿 x 轴将坐标平面折成 60的二面角，则折叠后 A、B 两点间的距离为_8已知 ABCDA 1B1C1D1 为正方体，( )23 2； ( )0；A1A A1D1 A1B1 A1B1 A1C A1B1 A1A 向量 与向量 的夹角是 60；正方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积为| |.其中正确命题的序号AD1 A1B AB AA1 AD 是_9.如图所示，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形，AB AE，FA FE ，AEF45.(1)求证：EF平面 BCE；(2)设线段 CD， AE 的中点分别为点 P，M，求证：PM平面 BCE.10.如图所示的多面体中，EA平面 ABC，DB 平面 ABC，ACBC，且 ACBCBD2AE 2，点M 是 AB 的中点(1)求证：CMEM；来源:Zxxk.Com(2)求平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值
