1、1直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.110 25 3010 22答案 C方法二 如图(2)，取 BC 的中点 D，连接 MN，ND，AD，由于 MN 綊 B1C1 綊 BD，因此有 ND 綊 BM，则 ND 与 NA 所成的角即为异面直线 BM 与 AN 所成的12角设 BC2，则 BMND ，AN ，AD ，6 5 5因此 co sAND .ND2 NA2 AD22NDNA 30102.如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 为线段 B
2、D 的中点设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是( )A ，1 B ，133 63C ， D ，163 223 223答案 B解析 根据题意可知平面 A1BD平面 A1ACC1 且两平面的交线是 A1O，所以过点 P 作交线 A1O 的垂线 PE，则 PE平面 A1BD，根据选项可知 B 正确3如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 P 在直线 BC1 上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD 1PC 的体积不变；直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变；二面角 PAD 1C 的大小不变其中真命题的序号是_答案 解析 中
3、，BC 1平面 AD1C，BC 1 上任意一点到平面 AD1C 的距离相等，所以体积不变，正确；中，点 P 在直线 BC1 上运动时，直线 AB 与平面 ACD1 所成角和直线 AC1 与平面 ACD1 所成角不相等，所以不正确；中，点 P 在直线 BC1 上运动时，点 P 在平面 AD1C1B 中，既二面角 PAD1C 的大小不受影响，所以正确4已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别为 BB1、CD 的中点，则点 F 到平面 A1D1E的距离为_答案 3510解析 以点 A 为坐标原点，AB，AD，AA 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐
4、标系，如图所示，5.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1AB AC 1，点 E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA 1B1，点 D 为棱 A1B1 上的点(1)证明：DF AE；(2)是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位1414置，若不存在，说明理由(1)证明 AEA 1B1，A 1B1 AB，AEAB，又AA 1AB，AA 1面 A1ACC1，AE 面 A1ACC1，AA 1AEA，AB面 A1ACC1.来源:又AC面 A1ACC1，AB AC，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则有 A(
5、0,0,0)，E ，F ，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，(0，1，12) (12，12，0)由(1)可知平面 ABC 的法向量 n(0,0,1)设平面 DEF 的法向量为 m( x，y，z) ，则Error! ( ， )， ，FE 1212 12 DF (12 ，12， 1)Error! 即Error!6如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD ，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEFEFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值(1)证明 由已知可得 AFDF，AFFE，所以 A
6、F平面 EFDC，又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解 过点 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知 DG平面 ABEF.以点 G 为坐标原点， 的方向为 x 轴GF 正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz. GF 由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60，则 DF2，DG ，可得 A(1,4,0)，3B(3,4,0) ，E (3,0,0)，D(0,0， )3由已知，ABEF ，所以 AB 平面 EFDC，又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二
7、面角 CBEF 的平面角，CEF60，从而可得 C(2,0， )3易错起源 1、利用向量证明平行与垂直例 1、如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点运用向量方法证明：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.证明 方法一 由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1，0,0) ，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F(1,0,1)，M ，O .(12，0，0) (12，12，12)(1)
8、， (1,0,0)，OM (0， 12， 12) BA 0, .OM BA OM BA 棱柱 ADEBCF 是直三棱柱，AB平面 BCF， 是平面 BCF 的一个法向量，BA 且 OM平面 BCF，OM 平面 BCF.(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为n1(x 1，y 1，z 1)，n 2(x 2，y 2，z 2) (1 ，1,1) ， ， (1,0,0)， (0，1,1)，DF DM (12， 1，0) DC CF 由Error! 得Error!令 x11，则 n1 .(1，12， 12)同理可得 n2(0,1,1) 向量 与向量 ， 共面，OM BF BC 又 OM
9、平面 BCF，OM 平面 BCF.来源:(2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直， ， ，CD BA FC BC BF 0，OM CD ( 12BC 12BF ) BA ( )OM FC ( 12BC 12BF ) BC BF 2 20.12BC 12BF OM CD，OMFC，又 CDFCC，OM 平面 EFCD.又 OM平面 MDF，平 面 MDF平面 EFCD.【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，点 E，F 分别是 PC，PD的中点，PAAB 1，BC2.(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.证明 (1)以点 A 为
10、原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0) ，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，点 E，F 分别是 PC，PD 的中点，(2)由(1)可知 (1,0 ，1)， (0,2 ，1)， (0,0,1)， (0,2,0) ， (1,0,0) ， 来源:Zxxk.ComPB PD AP AD DC (0,0,1)(1,0,0) 0，AP DC (0,2,0) (1,0,0)0，AD DC ， ，即 APDC，AD DC.AP DC AD DC 又 APAD A，DC平面 P
11、AD.DC平面 PDC，平面 PAD平面 PDC.【名师点睛】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 ab，只 需证明向量 a b( R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外【锦囊妙计，战胜自我】设直线 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)，平面 ， 的法向量分别为 ( a2，b 2，c 2)，v( a3，b 3，c 3)则有：(1)线面平行l a a 0a 1a2b 1b2c 1c20.(2)线面垂直l a ak a1
12、ka2，b 1kb 2，c 1kc 2.(3)面面平行 v va2 a3，b 2 b3，c 2 c3.(4)面面垂直 v v0a 2a3b 2b3c 2c30.易错起源 2、利用空间向量求空间 角例 2、如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABCBAD ，PAA D2，ABBC1.2(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长解 以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，AB AD AP 则各点的坐标为 B(1,
13、0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0) ，P(0,0,2)(1)因为 AD平面 PAB，所以 是平面 PAB 的一个法向量， (0,2,0)AD AD 因为 (1,1，2)， (0,2，2)PC PD 设平面 PCD 的法向量为 m (x，y ，z )，(2)因为 (1,0,2)，BP 设 ( ，0,2 )(0 1)，BQ BP 又 (0，1,0)，则 ( ，1,2 )，CB CQ CB BQ 又 (0 ，2,2) ，DP 从而 cos ， .CQ DP CQ DP |CQ |DP | 1 2102 2设 12 t，t1,3 ，则 cos2 ， .CQ DP 2t25t2 10t 929(1t 59)2 209 910
