1、专题 18 概率与统计1为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) 来源:学_科_网A. B. C. D.13 12 23 562某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )A. B. C. D.13 12 23 343袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另
2、一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多4同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是_5某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示 四月的平均最低气温约为 5.下面叙述不正确的是( )A各月的平均最低气温都在 0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均
3、最高气温基本相同D平均最高气温高于 20的月份有 5 个6某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时) ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25) ，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )A56B60C 120D1407某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位：米) 1
4、.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳(单位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则( )A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛8如图是我市某小区 100 户居民 2015 年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区 2015 年的月平均用水量的中位数的估计值为_9某高中学校共有学生
5、 1800 名，各年级男女学生人数如下表已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二女生的概率是 0.16.高一年级 高二年级 高三年级女生 324 x 280男生 316 312 y现用分层抽样的方法，在全校抽取 45 名学生，则应在高三抽取的学生人数为_10全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号 分组 频数1 4,5) 22 5,6) 83 6,7) 74 7,8 3(1)现从融合指数在4,5) 和7
6、,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在7,8内的概率；(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数易错起源 1、古典概型和几何概型例 1、(1)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.310 15 110 120(2)在 1,1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5) 2y 29 相交”发生的概率为_【变式探究】(1)已知函数 f(x) ax3 bx2x，连续
7、抛掷两颗骰子得到点数分别是 a，b，则函数 f(x)13 12在 x1 处取得最值的概率是( )A. B.136 118C. D.112 16(2)如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A. B.117 217C. D.317 417【名师点睛】(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事
8、件总数的求法的一致性(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解【锦囊妙计，战胜自我】1古典概型的概率P(A) .mn A中 所 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数2几何概型的概率P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 易错起源 2、相互独立事件和独立重复试验例 2、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分 别为 和 p.110(1)若在任意时刻至少有一个系统
9、不发生故障的概率为 ，求 p 的值；4950(2)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率【变式探究】(1)把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点 ”为事件 A， “第二次抛出的是合数点”为事件 B，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.12 14 16 13(2)如图所示，某快递公司送货员从公司 A 处准备开车送货到某单位 B 处，有ACDB，AE FB 两条路线若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如 ACD 算作两个路段，路段 AC 发生堵车事件的概率为 ，路段 CD 发生16堵车的概率为 )
10、若使途中发生堵车事件的概率较小，则由 A 到 B 应选择的路线是_110【名师点睛】求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能 转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； 在每次试验中，事件发生的概率相同【锦囊妙计，战胜自我】1条件概率在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A) .PABPA2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P( A)P(B)3独立重复试验、二项分布如果事件 A 在
11、一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为Pn(k)C pk(1p) nk ，k 0,1,2，n.kn一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则 P(Xk) C pkqnk ，其中 0n.124 34(1)求 m 与 n 的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分 1 分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分 3 分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及均值【名师点睛】求解随机变量分布列问
12、题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率来源:Z#xx#k.Com(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解【锦囊妙计，战胜自我】1离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi0 (i1,2 ，n)；(2)p 1p 2p n1.2均值公式E(X)x 1p1x 2p2x npn.3均值的性质(1)E(aXb) aE(X)b；(2)若 X B(n，p)，则 E(X)np.4方差公式D(X)x 1E( X)2p1 x2E(X) 2p2 xnE (X)2pn，
13、标准差为 .DX5方差的性质(1)D(aXb)a 2D(X)；(2)若 X B(n，p)，则 D(X)np(1p) 易错起源 4、抽样方法例 4、(1)某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本若从编号为1,2,3，10 的前 10 张发票的存根中随机抽取 1 张，然后再按系统抽样的 方法依编号顺序逐次产生第 2 张、第 3 张、第 4 张、，则抽样中产生的第 2 张已编号的发票存根，其编号不可能是( )A13 B17C19 D23(2)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量
14、调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为 4，y，z，依次构成等差数列，且 4，y，z 4 成等比数列，若用分层抽样抽取 6 个城市，则乙组中应抽取的城市个数为_【变式探究】(1)要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶中三聚氰胺的含量是否超标，现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将 800 袋牛奶按 000,001，799 进行编号，如果从随机数表第 7 行第 8 列的数开始向右读，则得到的第 4 个样本个体的编号是_(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行)8442175331572455068877047447672176
15、3350258392120676(第 7 行)63016378591695556719981050717512867358074439523879(第 8 行)33211234297864560782524207443815510013429966027954(第 9 行)(2)利用分层抽样的方法在学生总数为 1200 人的 年级中抽出 20 名同学，其中有女生 8 人，则该年级男生的人数约为_【名师点睛】(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2) 系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例【锦囊
16、妙计，战胜自我】1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体数较少2系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数较多3分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成易错起源 5、用样本估计总体例 5、(1)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50 ，若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A平均数 B标准差C众数 D中位数(2)若五个数 1,2,3,4，a 的平均数为 3，则这五个数的标准差是 _【变式
17、探究】(1)某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )A117 B118C118.5 D119.5(2)某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 且支出在20,60 元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50,60元的学生有 30 人，则 n 的值为( )A100 B1000C90 D900【名师点睛】(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考
18、查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小【锦囊妙计，战胜自我】1频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示 ，频率组距 .频 率组 距 频 率组 距2频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1.3利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心” ，等
19、于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和易错起源 6、统计案例例 6、(1)高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_(2)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表 1成绩性别不及格及格总计男 6 14 20女 10 22 32总计 16 36 52表 2视力性别好 差总计男 41620女122032总计163652
