1、1在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x6) 2y 225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是Error!(t 为参数)，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB| ，求 l 的斜率10解 (1)由 x cos ，y sin 可得圆 C 的极坐标方程 212 cos 110.2已知圆 C 的极坐标方程为 22 sin 40，求圆 C 的半径2 ( 4)解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 40，2 (22sin 22cos)化
2、简，得 22 sin 2 cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y 22x2y40，即(x1) 2(y 1)26，所以圆 C 的半径为 .63在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为 cos 4 的直线与曲线Error!( t 为参数) 相交于 A，B 两点，求 AB 的长解 极坐标方程 cos 4 的普通方程为 x4，代入Error!得 t2，当 t2 时，y8 ；当 t2 时，y 8.两个交点坐标分别为(4,8)，(4 ，8)，从而 AB16.4在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 Error! ( 为参数)，若以原点 O 为极点
3、，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程 来源:学。科。网 Z。X。X。K解 由参数方程消去 得圆 C 的方程为 x2( y2) 24，将 x cos ，y sin ，代入得( cos )2( sin 2) 24，整理得 4sin .5已知曲线 C：Error!( 为参数)，直线 l： (cos si n )12.来源:ZXXK3(1)将直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 的距离的最小值易错起源 1、极坐标与直角坐标的互化例 1、在极坐标系中，曲线 C1： ( cos sin )1
4、 与曲线 C2： a( a0)的一个交点在极轴上，2求 a 的值解 ( cos sin )1，2即 cos sin 1 对应的普通方程为2x y10，2 a(a0)对应的普通方程为x2y 2a 2.在 x y10 中，令 y0，得 x .222将 代入 x2y 2a 2 得 a .(22，0) 22【变式探究】在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 cos( )34和 sin2 8cos ，直线 l 与曲线 C 交于点 A、B ，求线段 AB 的长2得Error! 或Error!，所以 A(2，4)，B(18,12)，所以 AB 16 .18 22 12 42
5、2即线段 AB 的长为 16 .2【名师点睛】(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性【锦囊妙计，战胜自我】直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为( x，y)和( ， )，则Error!，Error!.易错起源 2、参数方程与普通方程的互化例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!(t 为参数)在极坐标系(与平面直角坐标
6、系xOy 取相同的长度单位 ，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴 )中，直线 l 的方程为 sin2m(mR)( 4)(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值【变式探究】已知直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数) ，P 是椭圆 y 21 上的任意一点， 求点 P 到x24直线 l 的距离的最大值解 由于直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数) ，故直线 l 的普通方程为 x2y0.因为 P 为椭圆 y 21 上的任意一点，x24故可设 P(2cos ，sin )，其中 R.因此点 P 到直
7、线 l 的距 离是d .|2cos 2sin|12 22 22|sin( 4)|5所以当 k ，kZ 时，d 取得最大值 .4 2105【名师点睛】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不 要增解、漏解，若 x、y 有范围限制，要标出 x、y 的取值范围【锦囊妙计，战胜自我】1直线的参数方程过定点 M(x0，y 0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)2圆的参数方程圆心在点 M(x0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为E
8、rror!( 为参数，0 2) 3圆锥曲线的参数方程来源:学#科#网(1)椭圆 1 的参数方程为Error!( 为参数) x2a2 y2b2(2)抛物线 y22px( p0)的参数方程为Error!(t 为参数)易错起源 3、极坐标、参数方程的综合应用例 3、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!(t 为参数，t 0) ，其中 0 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ，曲线 C3： 2 cos .3(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值解 (1)曲线
9、 C2 的直角坐标方程为 x2 y22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y 22 x0.3联立 Error!解得Error! 或Error!所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 .(32，32)(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ( R ， 0)，其中 0 .因此 A 的极坐标为(2sin ， )，B 的极坐标为(2 cos ， ) 来源:ZXXK3所以|AB|2sin 2 cos |4 .3 |sin( 3)|当 时， |AB|取得最大值，最大值为 4 . 56【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴
10、为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 sin .3(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标【名师点睛】(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到 化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用【锦囊妙计，战胜自我】解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等1已知圆的极坐标方程为
11、 4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为(4， )，求 CP 的长3解 由 4cos 得 24cos ，即 x2y 24x，即(x2) 2y 2 4，圆心 C(2,0)，又由点 P 的极坐标为(4， )可得点 P 的直角坐标为(2,2 )，3 3CP 2 .2 22 23 02 32在极坐标系中，求圆 8sin 上的点到直线 ( R)距离的最大值3解 圆 8sin 化为直角坐标方程为 x2y 28y0，即 x2(y 4) 216，直线 (R)化为直角3坐标方程为 y x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径圆心3(0,4)到直线 y x 的距离为 2，又圆的
12、半径 r4，所以圆上的点到直线的最大距离为3432 126.3在极坐标系中，已知三点 M(2， )、N (2,0)、P(2 ， )3 3 6(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上4已知直线 l 的参数方程为 Error! (t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos24 ，求直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标( 0，34 54)解 直线 l 的直角坐标方程为 yx2，由 2cos24 得 2(cos2sin 2)4，直角坐标方程为x2y 24，把 yx2 代入双曲线方程解得 x2
13、，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2 ，)5以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 Error!(t 为参数) ，圆 C 的极坐标方程是 4cos，求直线 l 被圆 C 截得的弦长解 直线 l 的参数方程Error!( t 为参数) 化为直角坐标方程是 yx4，圆 C 的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是 x2y 24 x0.圆 C 的圆心(2,0)到直线 xy40 的距离为 d .又圆 C 的半径22 2r2，因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 2 .r2 d2 26在平面直角坐标系 xOy 中，
14、已知直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长解 直线 l 的方程化为普通方程为 xy 0，3 3椭圆 C 的方程化为普通方程为 x2 1，y247已知直线 l：Error!( t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为 直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为 (5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| MB|的值 3解 (1)2cos 等价于 22 cos.将 2x 2y 2，cosx 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22x0.(2)将Error!代入式，得 t25 t180.3设这个方程的两个实根分别为 t1，t 2，则由参数 t 的几何意义即知，|MA|MB| |t 1t2|18.8已知直线 l 的参数方程是 Error!(t 为参数) ，圆 C 的极坐标方程为 4 cos .2 ( 4)(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 ，求实数 a 的值2解 (1)由 4 cos ，来源:2 ( 4)得 4cos 4 sin.
