1、272.3 随机过程的一般表达一、随机过程的概念及定义通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数 t 的随机过程。从一实例讲起，设有 n 部性能完全相同的通信机，工作条件相同。n 部通信机，n 台记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，一次记录的一个波形，就是一个实现（抽样函数） 。无数个记录构成的总体（集合）就是随机过程。上述这一类随机过程（随机信号）有如下特征： 信号变化不可预测；如气温信号，知道今中午的温度，但不能确切知道明天中午的温度。 事物的变化过程不能用一个（或几个）时间 t 的确定函数来加以描述。如通信机的输出热噪声电压，在相同条件下每次测量都将产生不同的热噪电压 时间函
2、数，要用一簇函数来描述。n 部通信机输出的热噪电压波形见下图：在上图中， 在任一时刻的值是不确定的。 21 tt，是 随 机 变 量,t20 t 2vt总 体 ： 概 率 平 滑 减 少值 远离 值 附 近 概 率 值 大,v0tn0 t nv1t2t 0概 率噪 声 值高 斯 分 布v出 现 的 概 率此 噪 声 电 压 值0 t 1vt128在纵向： ， 是随机变量， 是样本。211vVt. ,21v在横向： ，仅是一个实现（样本函数） 。，时 间 序 列 ： t随机过程两个属性(1) 是一个时间函数。t(2) 给定任一时刻 ， 是不含 t 变化的随机变量。1t二、分布函数及概率密度一维分
3、布函数：随机变量 小于或等于某一数值 的概率1tx)(),(xtpxF则称 为 的一维概率密度。1t一维概率密度：如果存在11txftF,则称 为 的一维概率密度。1txf,热噪声电压的一维分布函数曲线如下：热噪电压的一维分布有这样的性质： 101tF,显然随机过程的一维分布函数和概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在l0x1txf,概 率 密 度0x一 维 分 布 1F29联系，还需在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。多维分布函数：nnnn xtxttpxF ,;,212多维概率密度函数：nnnn tfxttx 1211,;,显然
4、， 越大，对随机过程统计特性的描述越充分。三、随机过程的数学特征上述随机过程的概率分布函数和密度函数能完整的描述其统计特性，然而在一般情况，多采用数学特征来描述随机过程的统计特性。的数学期望（均值）ttadxtftE,所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均，也称集平均，以区别时t间平均的概念。阶矩定义：nxtn方差定义 ：（偏离均值的程度）222 222tadxtfEtttttttD,衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，定义：协方差函数：30212121121 dxtxftaxttEtB,;, 自相关函数：21212121 dxtxfttR,;,显然有：212121 tE
5、tttB,互相关函数：dyxtfxytEtR21 ,;,四、重温随机过程的基本概念定义：若干“实现” （样本函数）构成的总体是随机过程。从纵向上来看，如果我们在 时刻对 条样本函数同时取样，得随机1tn变量 ：)(1t)(),(tttn 321或者说，全体样本在 时刻的取值就构成一个随机变量。1从横向上来看（沿时间轴上观察） ，时间序列：是一个实现（样本函数） ，全体实现才构成随机过程。)(,)(ttn 21随过程机看上去波形千变万化，各不相同，似乎很难定量描述样本函数及随机变量，应该用统计的方法加以描述。在静态上：对于随机变量 ，我们考察概率密度、分布函数等。)(1t在动态上：对于样本函数
6、，我们考察其数字特征，有：均值 随机过程围绕什么均值起伏变化？二维概率密度两个随机过程二维概率密度31方差 对均值的偏离程度？自相关函数 随机过程在不同时刻的取值它们之间的关联程度。下面图示两个随机过程 、 ：)(t过程 是慢变化，)(t过程 是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于 来说，)(t相关性强；对于 来说，相关性强弱。2.4 平稳随机过程一、平稳随机过程一种特殊类型的随机过程 平稳随机过程，对任意 n 和 ，满足（n 维概率密度函数）：nnn ttxf ,;,2112对于一维的情况来说，一维概率密度函数与时间无关。即二维概率密度函数只与时间间隔 有关，即,2
7、1xf平稳随机过程的统计特性：(1) 均值（数学期望）adxftE(2) 方差22 dxfaxttD(3) 自相关函数（如果 为电压电流信号，则t表示直流分量）（见徐佩霞 P39）（如果 为电压电流t信号，则 表示交流分量2的平均功率。 ）)(tt ta )(ta32平稳随机过程的自相关函数只与时间间隔 有关：212111 dxxftERt;,在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳随机过程，因此研究平稳过程有很大实际意义。二、各态历经过程大量的实际观测和理论分析表明，许多平稳随机过程具有所谓“各态历经性” 。许多平稳过程的数学特征（均值、方差、自相关函数） ，完全可由过程中的任一实
8、现（任一样本函数）的数学特征来决定。若一随机过程是各态历经过程，则必满足： RdtxtTRdtatxTfadxT2 22211limli 各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态似的。 任一实现都能代表整个随机过程。 各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历经过程。 各态历经过程的平均值，时间平均和对应的集合平均相等。2.5 平稳过程的相关函数与功率谱密度一、相关函数在平稳过程中，均值、方差、自相关、互相关函数这四个数学特征中，自相关函数是最重要的一个。2121dxxftER ,当 为电压电流信号时，则 时t 0的自相关函数 表示 总平均功率。0R33基本性质：
9、 ，S 的平均功率，电压tER20)(tt信号在 电阻上所消耗的平均功率。尽管平稳随机过程的总能量是无穷1的，但平均功率为有限值。 平稳过程只与 时间间隔有关,间隔。 ， 自己和自己相关值最大，因0R0此 的相关值小于 。0R说明：RtEttEt0020222 22attEatt2limli注： 统计独立，平稳过程的均值与时间无关， ,为常数。 20R34 RaRatEtttEtD0222 22二、频谱特性先看确定性信号：设确定性功率信号 ，有功率谱密度 ，自相关函数 ，tf SPtR的平均功率为：tf dPTFddtftfSST TTT21211 222limlili平 均 功 率式中， 是
10、 的截短函数 的频谱，确定性信号 的功率TFtftfT tf谱密度： PTS2lim自相关函数 与 的功率频谱 之间有确定的傅立叶变换关RtfSP系：SP平稳随机过程有否上述关系 ？随机过程的能量往往不是有限值，也就是说不满足 ，因dt2此随机过程不存在信号能量频谱。然而如果是平稳随机过程，那么其平均功率可能是有限值。我们定义，平稳随机过程 的t平均功率：35平均功率 2 1TdtESlim对于功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现也将是功率信号，因而可以借用上述确定性信号的功率谱公式来表示每一“实现”的功率谱。但是，随机过程的每一实现不可预测，因此，仅仅用某一实现的功率谱密度不能作为过程的功
11、率谱密度。随机过程的功率谱应看作是每一实现的功率谱的统计平均。仿照确定性信号的分析（推导过程见徐佩霞书 P42） ，设过程 的截短函数 （截短的随机过程） ， ttT截短函数 的傅立叶变换：T2 /)(Ttjtjde平稳随机过程 的平均功率，有：t dtTEdtTES 2211limlimT2dPT21li的功率谱密度为 ：tTEPT2lim然 而 再 作 统 计 平 均仍 是 一 个 随 机 量求 时 间 平 均 功 率先 对 ,2t36过程的平均功率 等于各个频率分量（统计值）单独贡献出的功率之S连续和。是在频率域上描述随机过程统计特性的最主要数字特征。下面考察频谱 与自相关函数 之间的关系。PtRdtetRTEdtetdtetEjtjTTjjT 22221 1令： ，则得：tTjjTjTjjT deRdetRdeE)()(1 1 0020 2于是，deReTEPjjTT 12)(lim故得，注释：偶函数： F注：平稳过程只与时间间隔 有关，自相关函数： tERttEtR
