1、1一类随机动态传递系统中随机信号的优化建模与算法分析肖筱南 *（厦门大学嘉庚学院，福建 漳州 363105）摘 要：近年来，关于不完全数据复杂扩散过程的统计推断与算法研究已成为概率与统计学家非常关注的一类有待深入研究的热点问题。本文在深入将普通信息空间中的信息流研究拓广到价值更高、信息量更大的广义信息测度空间中的全方位、多视角随机动态信息流研究的基础上，讨论了随机动态传递系统中一类多维广义部分可观测平稳过程最优滤波与估计的递推滤波算法，深入搜索、挖掘了此类广义过程中一系列很有价值的有用信息，得到了此类广义过程随机信号的最优递推滤波方程与最优估计方程，为进一步研究此类过程的最优控制以及进一步提高
2、此类信号传递系统的效率提供了可靠的理论依据和一种有效的数学处理手段与方法.关键词：广义过程； 随机信号；最优滤波与估计；优化建模；算法分析中图分类号： 文献标志码：A1 引言系统信息搜索、分析与利用及其随机动态优化模拟与控制是一个十分复杂的信号传递优化问题，它包括信息滤波、信息处理与信息统计分析等诸多方面的综合分析 1-6.大量事实表明，信息滤波与信息处理分析的效果如何，对于提高信号传递系统及其信息决策的效率起到至关重要的作用 7-10.为了有效解决一类多维广义部分可观测平稳过程随机信号的优化建模与控制，本文运用随机优化分析与随机递推滤波方法 11-16，对一类含分式有理谱密度、部分可观测广义
3、过程随机信号的最优滤波与估计问题进行了深入研究 17-21，进而得到了此类广义过程随机信号的最优滤波方程与最优估计方程，为进一步研究此类过程的最优控制以及进一步提高此类信号传递系统的效率提供了可靠理论依据和一种有效的数学处理手段与方法.2 系统描述与信息搜索对一类含分式有理谱密度、部分可观测的广义过程随机信号传递系统，其谱表示式为 ,21 ,0)(t（1）)d()(1 intieQPt收稿日期：2014-12-06 录用日期：2015-10-25*通信作者：2其中 为正交随机测度，且有)d(101012, ,)( ,)( ,d )( ,)d( RbazaZQbZPEEknknnkn 又有方程
4、的所有根位于单位园内.Qn由（1）可得到，过程 具有分式有理谱密度)(t（2）21)(ineQPf现按测度 构成过程)(d)()()1detti（3）于是 12d)( ,0)( tEt及 ),(d21)()(stestEsti（4）其中 为 Kronecher 符号.),(st由（4）可知，变量序列 是具有非相关值的序列.,2 ,10 ),(t与允许有谱表达式（1）的过程 一起，还可按以下公式来定义一组新过程),(1t：,)(2t)(tnnjeWijtij ,21 ),d(（5）其中频率特性 为,2,1 )(njZj1,2 ,)( )1()( njZWjkjknjj （6）， （7）nnkkn
5、Z110)()( 3而 （8） 11 ,2 , ,jiijnnjn nb由（6） 、 （7）分别可得（9）)()(1jjj ZWZ0!nknkn （10）从而不难导出（11） nnkjkjjKnnkn ZzWZZW)()( 1)()1(10故 （12）)()(1QPnn其中 为阶数不超过 n-1 的多项式.)(1zPn由（9）（12）还可得)()(1ZQPWnjj（13）其中多项式 的阶数也不超过 n-1，且根据（8）)(1zPn有 )(1)(Znn（14）因而 )(1t3 最优递推滤波与算法分析以下采用递推滤波算法对上述分式有理谱密度广义过程随机信息传递系统进行最优递推滤波与最佳线性估计:(
6、1) 允许有谱表达式（1）的广义平稳过程 , 是隶属于下列递推方程2,10),(t组的 n 维广义平稳过程 的一个分量， ，)(,)(1ttn )(t，,1( njtjjj n4)1()(10ttnjnj （15）过程 可用（3）表示，,21,)(tnjtssEj , 0（16）而系数 可由公式（8）给定.n,21若 ，为实过程，则每一个过程 也是实过程.,0 )(t )(,)(,2ttn若 ，为 Gauss 过程，则 亦是独立随机变量的, 10),(tGauss 序列.(2) 由表达式（15）可导出含分式有理谱密度的多维广义平稳序列分量的滤波方程 .设 ，为实广义平稳 ,21,0)(,)(,
7、)(, 11ttttVlktt k+l 维过程，可表为)d(ititeWv（17）其中 为 Nm 阶矩阵，N =k+l，具分式有理元素)()(,ZWqr),(, 1qrnqrQP（18）而 为具非相关分量的随机矢量测度，)(,)()(1ddmd21 0jiEE且假定方程 的根位于单位园内。)(,ZQqrn对以下每一过程应用系(1)，（19） d)()(, piqrtiqrpeWtv对矢量 及矢量 由矢量 和形如1lt t )(,)(1ttkt的所有那些补加分量构成经简单变换之后可得到递推方程组)(,)(2n )(21tbattt 5（20）)1(21tBAttt 其中 是具非相关分量的非相关矢
8、量的序列，)(,)(1tm 1)( ,0)(2tEtjj（21） d)()1(jtijet且矩阵 和 B，i=1,2 ，可直接求得 .bAai,设矢量 的第一个分量是不可观测的，以下研究对每个 t = 0,1,构成 依观),(ttv t测（ ）在均方意义内的最优线性估计问题.t,0若 ，为 Gauss 过程，则 ( F )和 由以1vt Emt t )(*tttt mY下方程组确定：（22）)()( 21*1*1*21 ttttttt AArBrabam （23）* rabr tttt 该方程组是按初始条件*0000 ),( mEr来解的. 根据正态相关定理，（24）000 ),(cov),(
9、 m（25）),cov(),(cc 00r由于 ( F )线性地取决于 ，则在 Gauss 过程 的情况下，Et t t0 ,tt构成 依 的最佳线性估计问题的解可由方程（22） 、 （23）给出.tt,0对于一般情形，设 是具 的随机矢量，又 是与 有同样),()+(2),(),(的前两阶矩的 Gauss 矢量，即 .若 是EiEEiii ,21, bl使.-HP（26）)()l的 的线性函数，则 在均方意义下是量 依 的最佳线性估计，且 E .1Rbl)(当 为矢量，即 时，以上结论仍成立.与 ),( ),(11 lk 6（3）设 是具有 及谱密度为,210 ,t0tE)(f的广义平稳过程
10、，为了求出 依 在均方意义2/iii ee t,0ss内的最佳线性估计（其中 st）,则需构造具有 及谱密度 的 Gauss 过程t )(ff. 而此过程可由下列方程,210 ,t)1()2()(21 ttttt 的解得到，其中 ,是 Gauss 随机序列，且有,0),(t. ,01),( , ststtEt今设 ，则 对 于 随 机 矢 量 （ ） ， ，可 得 到 方 程 组)1(1ttt t,210)1(22tttt )(1tt（27）其中 ( |F )和 ( |F )可由具有初始条件Estn),(1 tEstn),(2 tssrm ,的方程 ),(21)()(11 ttt（28）,2s
11、n确定. 而（28）中的初始条件 ( F )和 又是由方程Emsstsr)()12211sstss mrm （29）ssr1（30）确定的. 且不难证明 .1,0rm以上说明，广义平稳序列 ,的最佳线性估计是由（28）（30）确定的，2, ,t7而其中（29）中的 应以 代替.tt4 应用研究设 ，是彼此不相关的广义平稳序列，且 及谱密度,210,tst和 0ttES2/1)(,/)( cefcef ii 其中 .,ici令 为随机有用信号 ， 为干扰 ，且设观测过程为ttt（31）则由系(1)可找到具有 的不相关序列 ),( )( ,21,0)( isttEtiji 和)(1t，使,210)
12、(2t ,)(),1(2 tCtCtttt （32）由（31）和（32）得)1()()( 21211 ttccttttt 故“不可观测”过程 和“可观测”过程 满足方程组t t)(11Ctt)1()( 2122 ttccttt （33）根据（22）与（23） ，量 的最佳线性估计 ，和滤波均方误差t,0=, tm满足递推方程2)(tttmEr)()(2122121 ttttt cmcrcc （34）ttt rcrc2121)(（35）8由于过程 ，是广义平稳过程，且有 及协方差2,10 ),(tt 0ttE，并满足方程组：121, ttt EdEd,1)(,212112 cc2)(1dcdd从
13、而得到)( ,1 ,1 2122 ccc注意到（24） 、 （25） ，即可求出初始条件21212212100202 )(, cccdrm于是， 有用信号 依 的在均方意义内的最佳线性估计 和均方误差 可由tt,0 tmtr方程组（34） 、 （35）确定，而这一方程组是按初始条件210210 ,crcm来解的.如果研究的是参数 依观测 的估计问题，则结果变动不大，此时，t),(0tN方程（34）与（35）仍正确，且.2121 ,crcmNN参考文献：1. 王继霞，肖庆宪. 非时齐扩散模型中扩散系数的局部估计J. 数学物理学报，2015，35A(2). 2. 马雷，陈萍. 时变扩散模型中扩散系
14、数的核估计J. 应用概率统计，2012，28（5）.3. Wang Q H.Statistical estimation in partial linear models with covariate data missing at randomJ.Annals of the Institute of Statistical Mathematics，2009，61:47844 陈兆国.时间序列及其谱分析M.北京：科学出版社，1988. 354372.5 韩曾晋.现代控制理论和应用M.北京：北京出版社，1987.6 袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法M.北京：科学出版社，1999.7 Zhang
15、T, Ge S S, Hang C C. Stable adaptive control for a class of nonlinear systems using a modified lyapunov functionA. In: proceedings of the 14th IFAC World Congress. Beijing: 1999. K:373378.98 Yu L, Chen G D, Chu J. Optimal guaranteed cost control of linear uncertain systems: LMI approachJ. IFAC, 1999
16、, G-2e-21-1: 541546.9 Tijms H C. Stochastic Models, An Algorithmic ApproachJ. John Wiley & Sons, 1994. 156248.10 Anderson T W. An Introduction to Multivariate Statistical AualysisM. New York: John Wiley & Sons, 1990.232296.11 Korezlioglu H, Mazziotto G, Szpirglas J. Filtering and Control of Random P
17、rocessesM. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 164198.12 Kallianpur G, Krishnaiah P R, Ghosh J K. Statistics and ProbabilityM. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. 383396.13 Auslender A, Oettli W, Stoer J. Optimization and Optimal ControlM. Berlin: Springer-Verlag, 1981. 146175.14 Kallianpu
18、r G, Striebel C. Estimation Stochastic Systems: Arbitrary System Process With Additive White Noise Observation ErrorsJ. AMS, 1968,(39):785806.15 钱敏平, 龚光鲁. 随机过程论（第二版）M. 北京：北京大学出版社，1997. 297368.16 蔡尚峰.随机控制理论M.上海：上海交通大学出版社， 1987.17 肖筱南. 一类可测空间中随机扩散过程测度的绝对连续性与等价性 J. 陕西师大学报(自然科学版)，1995，23（4）：2124.19 肖筱南.
19、一类非可测二维扩散非平稳过程的局部最佳状态估计J.西安石油大学学报，2004，19（2）.18 肖筱南.一类广义非平稳过程泛函结构的特征刻划与随机分析J.厦门大学学报，2006 年，45(5).20 肖筱南. 一类统计模型相应风险的极小极大估计J.厦门大学学报，2008, 47（5）.21 肖筱南. 一类信号传递随机系统下可容许编码函数的最佳运算与优分分析J. 厦门大学学报，2009, 48（2）.The Optimize Modeling and Algorithm Analysis of a Kind of the Stochastic Dynamic Random Signal Deli
20、very SystemXIAO Xiao-nan(Xiamen university Tan Kah Kee college, Zhangzhou 363105)Abstract: In recent years, incomplete data and complex statistical inference algorithm for the diffusion process has become a hot topic that scholars of probability and statisticians are concerned with and needs further
21、 study. This article expands the information flow research in the ordinary information space to the all-directional, multi-angle random dynamic information flow research in the generalized information measuring space, which bears more value and information. It discusses the recursive filtering algor
22、ithm of the optimal filtering and estimation of a kind of measurable and stationary process in multi-dimensional and generalized part, searches for and digs out a series of valuable information in such generalized process, produces the optimal recursive filtering equation and optimal estimation of r
23、andom signals in such generalized process, thus provides reliable theoretical base and efficient mathematic method for further research of optimal control of such process and for efficiency promotion of such information transmission system. 10Key words: generalized process, random signal, random measuring, information flow, optimal filtering and estimation, information process, optimal modeling, algorithm analysis
