1、数学典型题型一、和差问题【含义】已知两数的和与差，求这两数。【数量关系】大数=（和+差）2小数=（和-差）2例 1：已知两数和是 10，差是 2，求这两数。大数：（10+2）2=6小数：（10-2）2=4答：这两数分别是 6 和 4。例 2：有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克？解题思路：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多32-30=2 千克，且甲是大数，丙是小数，由此可解：32-30=2（千克）甲：（22+2）2=12（千克）丙：（22-2）2=10（千克）乙：32-12=20（千克）答：甲袋化肥重
2、 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 3：甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解题思路：“从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3筐” ，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是 14 X 2+3=31，由此可解：甲：（97+14 X 2+3）2=64（筐）乙：97-64=33（筐）答:甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。二、和倍问题【含义】已知两数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，求这两数。【数量关系】小数=总和（几倍+1）大数=总和-
3、小数例 1：果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？杏树：248 （3+1 ）=62 （棵）桃树：62 X 3=186（棵）答：杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。例 2：甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？解题思路：每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（28-24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这是乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天后甲站的
4、车辆数为：（52+32） （2+1 ）=28（辆）天数：（52-28）（28-24）=6（天）答：6 天后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 3：甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多6，求三数各是多少？解题思路：乙丙两数都与甲数有关，因此把甲数作为 1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍；又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变成甲数的 3 倍；这时（170+4-6）就相当于（1+2+3）倍。那么：甲数：（170+4-6）（1+2+3）=28乙数：28X2-4=52丙数：28X3+6=90答：甲数是 28，乙数是
5、 52，丙数是 90。三、和比问题【含义】已知整体，求部分。例：甲乙丙三数和为 27，甲：乙：丙=2:3:4，求甲乙丙三数。【口诀】家要众人合，分家有原则。分母比数和，分子自己的。和乘以比例，就是该得的。分母比数和，即分母为：2+3+4=9分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为 2/9,3/9,4/9。和乘以比例，则甲为 27X2/9=6 ，乙为 27X3/9=9 ，丙为 27X4/9=12四、差倍问题（差比问题）【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，求这两个数各是多少。【数量关系】小数=两个数的差（几倍-1）大数=小数 X 几倍【口诀】我的比你多，倍数是因果
6、。分子实际差，分母倍数差。商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。例 1：甲数比乙数大 12，甲：乙=7:4，求两数。先求一倍的量，12（ 7-4）=4 所以甲数为：4 X 7=28 乙数为：4 X 4=16例 2：果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？杏树：124 （3-1）=62（棵）桃树：62 X 3=186（棵）答：杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。例 3：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解题思路：如果把上月盈利作为 1 倍量，则（
7、30-12）万元就相当于上月盈利的（2-1）倍，因此：上月盈利：（30-12）（2-1）=18（万元）本月盈利：18+30=48 （万元）答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。例 4：粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？解题思路：由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138-94） 。把几天后剩下的小麦看着 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么， （138-94 ）（3-1）倍，因此：剩下的小麦数量：（138-94）（3-1）=22 （吨）运出的小麦数量：94-22
8、=72 （吨）运粮的天数：729=8 （天）答：8 天后剩下的玉米是小麦的 3 倍。五、倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题是先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数。【数量关系】倍数=总量一个数量另一总量=另一数量 X 倍数例：100 千克油菜可以榨油 40 千克，现在有油菜 3700 千克，可以榨油多少？3700100=37（倍）40X37=1480（千克）答：可以榨油 1480 千克。六、相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。【数量关系】相遇时间=总路程（甲速 +乙速）总路程=（甲速+乙速）X 相遇时间例 1：南京到上海的水
9、路长 392 千米，同时从两港开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行驶 28 千米，从上海开出的船每小时行驶 21 千米，经过几小时两船相遇？392（28+21）=8（小时）答：经过 8 小时两船相遇。例 2：小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？例 3：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。七、追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点不同时出发） ，
10、作同向运动，在后面的行进速度要快一些，在前面的行进速度要慢一些，在一定时间内，后面的物体追上前面的。【数量关系】追及时间=追及路程（快速-慢速）追及路程=（快速-慢速）X 追及时间例 1：好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解：劣马先走 12 天能走多少千米？ 75X12=900（千米）好几天能追上劣马？ 900（120-75）=20（天）答：好马 20 天能追上劣马。例 2：小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500 米。求小亮的速度是每秒多少米。解：小
11、明第一次追上小亮时比小亮多跑了一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑了 500 米所用的时间。又知小明 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40（500 200） 秒，所以小亮的速度是：（500-200）40（500200） =3（米）答：小亮的速度是每秒 3 米。例 3：我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在 16 点从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度从乙地开始追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几小时可以追上敌人？解:敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216
12、）小时，这段时间敌人逃跑的路程是10（226） 千米，甲乙两地相距60 千米。由此推知追及时间10（226）60（3010） 2202011（小时） 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4：一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距离两站中点 16 千米处相遇。求甲乙两站的距离。解: 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 162（4840）4 （小时）所以两站间的距离为 （48 40）4 352 （千米） 列成综合算式 （48
13、40）162 （4840 ） 352（千米）答：甲乙两站的距离是 352 千米。例 5：兄妹二人同时由家上学，哥哥没分钟走 90 米，妹妹每分钟走60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家里学校有多远？例 6：孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮一开始就从家跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。八、植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的
14、两个量，求第三个量。【数量关系】线性植树 棵数=距离棵距+1环形植树 棵数=距离棵距面积植树 棵数=面积（棵距 X 行距）【口诀】植树多少棵，要问路如何？直的加上 1，圆的是结果。例 1：在一条长为 120 米的路上植树，间距为 4 米，植树多少棵？路是直的，因而植树为：1204+1=31（棵）例 2：在一条长为 120 米的圆形花坛边植树，间距为 4 米，植树多少棵？路是圆的，因而植树为：1204=30（棵）九、年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是两人的年龄倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例 1：母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？ 解：（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37730（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30（41）73（年）列成综合算式 （377）（41）73（年）答：三年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 2：3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子的 4 倍，父子今年各多少岁？
