1、平方根与算术平方根概念辨析平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：一、区别：1、定义不同。平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 叫做 a的平方根。例如， ，2 是 4 的平方根， ，2 是 4 的平方根，即 2 和2都是 4 的平方根。算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根（特别规定：0 的算术平方根是 0）。例如， ，正数 2 是 4 的算术平方根。虽然 ，但2 不是正数，所
2、以2 不是 4 的算术平方根。2、表示方法不同。平方根：一个非负数 a 的平方根记做 。例如，5 的平方根记做 。算术平方根：一个非负数 a 的算术平方根记作 。例如，5 的算术平方根记作。3、个数不同。平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16 的平方根有两个，一个是 4，另一个是4。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16 的算术平方根只有一个，是 4。二、联系1、二者之间存在着从属关系。一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。例如， 的两个平方根是 ，其中 是 的算术平方根。2、二者被开方数的取值范围相同。只有非负
3、数才有平方根，负数没有平方根。只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。三、典型例题例 1 求下列各数的平方根。（1）121 （2） （3）0 （4）解：（1）因 ，故 121 的平方根是 。（2）因 ，故 的平方根是 。（3）因 ，故 0 的平方根是 0。（4）因 ，故 的平方根是 。评析：求数 a 的平方根，就是要把平方后等于 a 的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。例 2 求下列各数的算术平方根。（1）225 （2） （3）0.49 （4）解：（1）因 ，故 225 的平方根是 ，取正的平方根，即 225 的算术平方根是 1
4、5。（2）因 ，故 的算术平方根是 ，即 。（3）因 ，故 0.49 的算术平方根是 0.7，即 。（4）因 ，而 ，所以 的算术平方根是 5。评析：求正数 a 的算术平方根，只需找出平方后等于 a 的正数。例 3 下列说法是否正确？为什么？（1）5 是 25 的平方根。（2）25 的平方根是 5。解：（1）正确。因 ，所以 5 是 25 的平方根。（2）不正确。因 都等于 25，所以 25 的平方根是 。评析：判断 x 是不是 a 的平方根，只需看 是否等于 a，若 ，那么 x 就是 a 的平方根，求 a 的平方根，则需将所有平方后等于 a 的数全部找出来。例 4 下列说法正确的是（ ）A.
5、 5 是 的算术平方根B. 81 的平方根是C. 2 是4 的算术平方根D. 9 的算术平方根是解：选 B。评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项 C 错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项 A、D 错误。例 5 求下列各式的值。（1） （2） （3） （4）解：（1）（2）（3）（4）评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义： 表示 a 的平方根， 表示 a 的算术平方根， 表示 a 的负的平方根。例 6 下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 解：选 D评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数 a 的平方根记为 ，它的结果是互为相反数的两个数，所以 C 错误。一个正数 a 的算术平方根记为 ，它的结果是一个正数，所以 A、B 错误。
