1、数列裂项相消求和的典型题型1已知等差数列 的前 n 项和为 则数列 的前 100 项和为( )a,15,5San 1naA B C D100101 99101 99100 1011002数列 其前 项之和为 则在平面直角坐标系中，直线 在 y 轴上的截距,)(na, 0)1(nyx为( )A10 B9 C10 D93等比数列 的各项均为正数，且 na 623219,aa()求数列 的通项公式；()设 求数列 的前 项和,loglogl 32313 nn aab nb4正项数列 满足 n 0)1(nn()求数列 的通项公式 ；aa()令 求数列 的前 项和 ,)1(nnbnbnT5设等差数列 的
2、前 项和为 ，且 anS12,42naS()求数列 的通项公式；n()设数列 满足 求 的前 项和 nb ,21*21 Nnaban nbnT6已知等差数列 满足： 的前 项和为 n 6,7753nanS()求 及 ；naS()令 求数列 的前 项和 ),(1*2NbnnbnT7在数列 中 annaa21)(,()求 的通项公式；n()令 求数列 的前 项和 ；,21nbnbnS（）求数列 的前 项和 nanT8已知等差数列 的前 3 项和为 6，前 8 项和为4()求数列 的通项公式；n()设 求数列 的前 项和 ),0()4(*1NnqabnbnS9已知数列 满足 且对 都有 n21*m2
3、112)(nmaanm()求 ；53,()设 证明： 是等差数列；),(*12Nabnn nb（）设 求数列 的前 项和 ),0( *qc ncnS10已知数列 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 n 16,57263aa()求数列 的通项公式；a()数列 和数列 满足等式 求数列 的前 项和 nnb ),(22*31 Nnbban nbnS11已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 成等比数列anS41,S(1)求数列 的通项公式；n(2)令 求数列 的前 项和 .,4)1(12nabnbnT12正项数列 的前 n 项和 满足： .S 0)()1(22nSn(1)求数列 的通项公式
4、 ；n(2)令 数列 的前 n 项和为 ，证明：对于 都有 .,)2(1nabbnT,*N645nT答案：1A；2B3解：()设数列a n的公比为 q，由 a32=9a2a6 有 a32=9a42，q 2= 由条件可知各项均为正数，故 q= 由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1，a 1= 故数列a n的通项式为 an= （）b n= + + =（1+2+ +n）= ，故 = =2（ ）则 + + =2（1 ）+（ ）+ +（ ） = ，数列 的前 n 项和为 4解：()由正项数列a n满足： （2n1）a n2n=0，可有（a n2n） （a n+1）=0a n=2n()a n=2
5、n，b n= ，b n= = = ，Tn= = = 数列b n的前 n 项和 Tn 为 5解：()设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 S4=4S2，a 2n=2an+1 有：，解有 a1=1，d=2an=2n1，nN *()由已知 + + =1 ，nN *，有：当 n=1 时， = ，当 n2 时， =（1 ） （1 ）= ，n=1 时符合 = ，nN *由（）知，a n=2n1，nN *bn= ，nN *又 Tn= + + + ， Tn= + + + ，两式相减有： Tn= +（ + + ） = Tn=3 6解：()设等差数列a n的公差为 d，a3=7， a5+a7=26，有
6、，解有 a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn= =n2+2n；()由()知 an=2n+1，bn= = = = ，Tn= = = ，即数列b n的前 n 项和 Tn= 7解：()由条件有 ，又 n=1 时， ，故数列 构成首项为 1，公式为 的等比数列 ，即 ()由 有 ， ，两式相减，有： ， （）由 有 Tn=2Sn+2a12an+1= 8解：()设a n的公差为 d，由已知有解有 a1=3，d= 1故 an=3+（n1） （1）=4 n；()由()的解答有，b n=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若 q1，将上式两边同乘以 q，有qSn=1q1+2q
7、2+3q3+nqn上面两式相减，有（q1） Sn=nqn（1+q+q 2+qn1）=nq n于是 Sn=若 q=1，则 Sn=1+2+3+n=， Sn= 9解：()由题意，令 m=2，n=1，可有 a3=2a2a1+2=6再令 m=3，n=1，可有 a5=2a3a1+8=20()当 nN*时，由已知（以 n+2 代替 m）可有 a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a 2（n+1 ）+1 a2（n+1）1 （ a2n+1a2n1）=8即 bn+1bn=8bn是公差为 8 的等差数列（）由() ()解答可知b n是首项为 b1=a3a1=6，公差为 8 的等差数列则 bn=8n2，即 a2n
8、+1a2n1=8n2另由已知（令 m=1）可有an= （n 1） 2an+1an= 2n+1= 2n+1=2n于是 cn=2nqn1当 q=1 时，S n=2+4+6+2n=n（n+1）当 q1 时，S n=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以 q，可有qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减，有（1q） Sn=2（1+q+q 2+qn1）2nq n=2 2nqn=2Sn=2综上所述，S n= 10解：()设等差数列a n的公差为 d，则依题意可知 d0 由 a2+a7=16，有，2a 1+7d=16由 a3a6=55，有 （a 1+2d） （a 1+5d）=55由联立方程
9、求，有 d=2，a 1=1/d=2，a 1= （排除）an=1+（n1）2=2n 1()令 cn= ，则有 an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减，有an+1an=cn+1，由（1）有 a1=1，a n+1an=2cn+1=2，即 cn=2（n 2） ，即当 n2 时，bn=2n+1，又当 n=1 时，b 1=2a1=2bn=于是 Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，11解 (1)因为 S1a 1，S 22a 1 22a 12，212S44a 1 24a 112，432由题意得(2a 12) 2a 1(4a112) ，解得 a11，所
10、以 an2n1.(2)bn(1) n1 ( 1)n1 ( 1) n1 ( )4nanan 1 4n(2n 1)(2n 1) 12n 1 12n 1当 n为偶数时，Tn(1 )( )( )( )1 .13 13 15 12n 3 12n 1 12n 1 12n 1 12n 1 2n2n 1当 n为奇数时，Tn(1 )( )( )( )1 .13 13 15 12n 3 12n 1 12n 1 12n 1 12n 1 2n 22n 1所以 TnError!(或 Tn )2n 1 ( 1)n 12n 112(1)解 由 S (n 2n1)S n(n 2n) 0，2n得S n(n 2n)(S n1)0，由于a n是正项数列，所以 Sn10.所以 Snn 2n(nN *)n2 时，a nS nS n1 2n，n1 时，a 1S 12 适合上式an2n( nN *)(2)证明 由 an2n(nN *)得 bn n 1(n 2)2a2n n 14n2(n 2)2 1161n2 1(n 2)2Tn Error!Error!116 (nN *)1161 122 1(n 1)2 1(n 2)2 116(1 122) 564即对于任意的 nN *，都有 Tn .564
