1、1第 一 章 矢 量 分 析第 一 章 题 解1-1 已 知 三 个 矢 量 分 别 为 ；zyeeAx32； 。 试 求 ； 单zyeBx23zeCx| |,|CB位 矢 量 ； ； ； 及cba ,BA)(； 及 。A)()()(解 14321222 zyxzB50222zyxC zyeAexa 314zyBxb 2zeCexc 51 1623 zyxBABA zyzyzyxz eeeexx 57213 zyz eeeCBAx0257因 zyzyzyxAeexx 452132则 zyzy eeeBCAxx 138621345 532。19071-2 已 知 平 面 内 的 位 置 矢 量
2、A 与 X 轴 的 夹 角 为 ，0z位 置 矢 量 B 与 X 轴 的 夹 角 为 ， 试 证 sincos)cos(证 明 由 于 两 矢 量 位 于 平 面 内 ， 因 此 均 为 二 维 矢 量 ，0z它 们 可 以 分 别 表 示 为 sincoAyeeAxBB已 知 ， 求 得csBAsincoso即 ins)cs(1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为 ，)2 ,10(P及 。 试 问 ： 该 三 角 形 是 否 是 直 角 三),4(2P)5 ,26(3角 形 ； 该 三 角 形 的 面 积 是 多 少 ？解 由 题 意 知 ， 三 角 形 三 个 顶 点
3、的 位 置 矢 量 分 别 为； ；zye21zyxeP342zyxeeP5263那 么 ， 由 顶 点 P1 指 向 P2 的 边 矢 量 为zx2同 理 ， 由 顶 点 P2 指 向 P3 的 边 矢 量 由 顶 点 P3 指 向 P1 的边 矢 量 分 别 为 zyex823 zyex76313因 两 个 边 矢 量 ， 意 味 该 两 个 边 矢 量 相0)()(2312P互 垂 直 ， 所 以 该 三 角 形 是 直 角 三 角 形 。因 74212P，6981223所 以 三 角 形 的 面 积 为 1735.02312PS1-4 已 知 矢 量 ， 两 点 P1 及 P2 的 坐
4、 标 位 置 分xyeA别 为 及 。 若 取 P1 及 P2 之 间 的 抛 物 线)1 ,2(P) ,8(2或 直 线 为 积 分 路 径 ， 试 求 线 积 分 。yx 12 dplA解 积 分 路 线 为 抛 物 线 。 已 知 抛 物 线 方 程 为 , 2yx， 则yxd4142d62d4d 312121212 yyyxPPPPlA 积 分 路 线 为 直 线 。 因 , 两 点 位 于 平 面 内 ，1z过 , 两 点 的 直 线 方 程 为 ， 即 ，12 8xyxy， 则yxd6。1412d4621212 yyyPPlA1-5 设 标 量 ， 矢 量 ， 试 求 标3zxzy
5、eAx量 函 数 在 点 处 沿 矢 量 A 的 方 向 上 的 方 向 导 数 。)1 ,(解 已 知 梯 度 2223)(yzzxyzyxx eeee 那 么 ， 在 点 处 的 梯 度 为)1 ,2(zyxe34因 此 ， 标 量 函 数 在 点 处 沿 矢 量 A 的 方 向 上 的 方)1 ,2(向 导 数 为 13623zyxzyx eeA1-6 试 证 式 （ 1-5-11） ， 式 （ 1-5-12） 及 式 （ 1-5-13） 。证 明 式 （ 1-5-11） 为 ， 该 式 左 边 为zyxeee zyzyx xzzyy eeeex即 ， 。根 据 上 述 复 合 函 数
6、求 导 法 则 同 样 可 证 式 （ 1-5-12） 和 式 （ 1-5-13） 。1-7 已 知 标 量 函 数 ， 试 求 该 标 量 函zeyx3sin2i数 在 点 P(1,2,3)处 的 最 大 变 化 率 及 其 方 向 。解 标 量 函 数 在 某 点 的 最 大 变 化 率 即 是 函 数 在 该 点 的 梯 度 值 。已 知 标 量 函 数 的 梯 度 为 zyxee那 么 zyz eyxex 3cos2sin3sin2co exzz 3isi5将 点 P(1,2,3) 的 坐 标 代 入 ， 得 。3326ezyPe那 么 ， 在 P 点 的 最 大 变 化 率 为 76
7、236233 eezyP 点 最 大 变 化 率 方 向 的 方 向 余 弦 为； ；0cos27cs27cos1-8 若 标 量 函 数 为 zyxzyx6322试 求 在 点 处 的 梯 度 。)1 ,(P解 已 知 梯 度 ， 将 标 量 函 数 代zyxee入 得 62432zxyeeex再 将 P 点 的 坐 标 代 入 ， 求 得 标 量 函 数 在 P 点 处 的 梯 度为 yPx91-9 试 证 式 （ 1-6-11） 及 式 （ 1-6-12） 。证 明 式 （ 1-6-11） 为 ， 该 式 左 边 为AC AA CzyxzyCx即 A式 （ 1-6-12） 为 ， 该 式
8、 左 边 为AzyxzAAAzyyxx 6；A即 1-10 试 求 距 离 在 直 角 坐 标 、 圆 柱 坐 标 及 圆 球 坐 标|21r中 的 表 示 式 。解 在 直 角 坐 标 系 中 21212121 zyxr在 圆 柱 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， ， 因cosrsinr此 2121221221 siisco zrr r21 z在 球 坐 标 系 中 ， 已 知 , ,cosinrxsinry,因 此cosrz2122112211221 cossisisisin rrrr 11 coconr1-11 已 知 两 个 位 置 矢 量 及 的 终 点 坐 标 分 别 为r2及
9、， 试 证 与 之 间 的 夹 角 为),(r),(2r1 21221 cos)cos(insco 证 明 根 据 题 意 ， 两 个 位 置 矢 量 在 直 角 坐 标 系 中 可 表 示 为11111 ssinsirrr zyx eee22222 coconz已 知 两 个 矢 量 的 标 积 为 ， 这 里 为 两 个 矢 量 的cs11rr夹 角 。 因 此 夹 角 为 21cosr式 中7)cos sinsincosin(i21 212121r21因 此 ， 212121 21cos)cos(ins cos)inco 1-12 试 求 分 别 满 足 方 程 式 及 的 函 数0rf
10、0)(rf及 。)(rf)(f解 在 球 坐 标 系 中 ， 为 了 满 足0311111 rffrfrfrf即 要 求 ， 求 得03d11frf rfd1Crflnln1即 3r在 球 坐 标 系 中 ， 为 了 满 足0222 rrrfff由 于 ， ， 即 上 式 恒 为 零 。 故 可 以02rf rf2是 r 的 任 意 函 数 。1-13 试 证 式 （ 1-7-11） 及 式 （ 1-7-12） 。证 明 式 （ 1-7-11） 为 （ 为 常 数 ）AC令 ， ， 则zyxeeAA zyxee AzyxCzyxCzz 式 （ 1-7-12） 为 8令 ， ， 则zyxeeAA
11、 zyxAeexyzzyxzyzxyyxz AAeezxyyxzxyzAy ezxyyxzxyz AAee若 将 式 （ 1-7-12） 的 右 边 展 开 ， 也 可 证 明 。1-14 试 证 ， 及 。0r0r03r证 明 已 知 在 球 坐 标 系 中 ， 矢 量 A 的 旋 度 为ArArrsinisin2ee对 于 矢 量 ， 因 ， ， ， 代 入 上 式 ， 且rr0因 r 与 角 度 ， 无 关 ， 那 么 ， 由 上 式 获 知 。0r对 于 矢 量 ， 因 ， ， ， 显 然 。r1rAA对 于 矢 量 ， 因 ， ， ， 同 理 获 知32r0。03r1-15 若 C
12、为 常 数 ， A 及 k 为 常 矢 量 ， 试 证 ：9 ；rkrkcceC ；rkrA c)( 。rrkcee证 明 证 明 。rrC利 用 公 式 ， 则Frkrkrrk CCee而 zyxzyx求 得 。rkrkCe 证 明 。rkrA Ce利 用 公 式 ， 则Arkrkrrk CCC eee再 利 用 的 结 果 ， 则 rrA 证 明 。rkrkACCee利 用 公 式 ， 则Arkrkrkrk CCCeee再 利 用 的 结 果 ， 则 。rrA1-16 试 证 ， 式 中 k 为 常 数 。rekr22证 明 已 知 在 球 坐 标 系 中 22222 sin1sini1r
13、rr则 rerrekk221 krkrer22110krkrer21krkree112 kr2即 rrkk1-17 试 证 2|1)()( EE证 明 利 用 公 式ABABA令 上 式 中 的 ， 则 EEE 222将 上 式 整 理 后 ， 即 得。211-18 已 知 矢 量 场 F 的 散 度 ， 旋 度 ，)(rq 0F试 求 该 矢 量 场 。解 根 据 亥 姆 霍 兹 定 理 ， ， 其 中rAr；VVd41rr VVd41A当 时 ， 则 ， 即 。 那 么 因0F0rF， 求 得rq rqVqV4d41rr则 rqerrF241-19 已 知 某 点 在 圆 柱 坐 标 系 中 的 位 置 为 ， 试3 ,24求 该 点 在 相 应 的 直 角 坐 标 系 及 圆 球 坐 标 系 中 的 位 置 。解 已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关系 为
