1、 习题1.1 已知 ，求:(a) A 和 B 的大小（模） ； (b) A 和 B 的单zyxBzyxA2;32位矢量；(c) ；(d) ；(e) A 和 B 之间的夹角；(f) A 在 B 上的投影。解：(a) A 和 B 的大小 74.313222 zyx561z(b) A 和 B 的单位矢量zyxzyxa 27.08.53.0)2(74.31 Bb 16.4.)(5.(c) A723zyxBA(d) zyxzxBzAzyx 35213 (e)A 和 B 之间的夹角 根据 得cos764.013.9cos019.(f) A 在 B 上的投影8.245.b1.2 如果矢量 A、B 和 C 在
2、同一平面，证明 A(B C)=0。 证明：设矢量 A、B 和 C 所在平面为 平面xyyxyxCzCByCBxCBCBzyx xyxzxzyzyzyx )()()( x)(00) zBBAxy1.3 已知 A= 、B 和 C ，证明这三sincoxsincoysincoyx个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。证明：1）三个矢量都是单位矢量 1sinco2222 zyxAzBBsic2222zyxCC2）三个矢量是共面的 zBBzyx sinco20is0)(CA1.4 ； ，当 时，求 。xyz2Bxyz3AB解：当 时， 03A所以51.5 证明三个矢量 A 、B 和 C 形成一个三角形
3、的三yx5zyx73zyx2条边，并利用矢积求此三角形的面积。证明 ：因为 z20)(CBA所以三个矢量 A 、B 和 C 形成一个三角形此三角形的面积为BAS21 6.102/517305 2zyxAzyxzyx1.6 P 点和 Q 点的位置矢量分别为 和 ，求从 P 点到 Q 点的距离矢zyx2zyx3量及其长度。 解：从 P 点到 Q 点的距离矢量为 yxzyxzyxrR 15)15()32( 从 P 点到 Q 点的距离为 .121.7 求与两矢量 A 和 B 都正交的单位矢量。zyx34zyx2解：设矢量 与两矢量 A 和 B 都正交，则C （1）0zyx（2）2zB（1）+（2） 得
4、 （3）26yxCxyC（1）+3 （2）得 （4）01zz5如果矢量 是单位矢量，则C12922 xxzyx CC所以 16.0591xxyC37.z840zyx5.7.169.1.8 将直角坐标系中的矢量场 分别用圆柱和圆球坐标系中的Fxyz12(,),(,)坐标分量表示。解：在圆柱坐标系中 0sinco10cosin10cosin1 zyxz FFi),( 0cosin10cosin10cosin22 zyxz FFi),(在圆球坐标系中 sinco01cossininicossi iicscosnon11 zyxr FFi),(1rF cosin01cossininicosicsiio
5、scsnin22 zyxr Fi),(2 rF1.9 将圆柱坐标系中的矢量场 用直角坐标系中的坐标分FzFz123(,),(,)量表示。解：根据（1）AAxyz zcosini001得0sin2co10cossini1 zyxFyxxi2),(又因为 （2）zyx2sinco)(2),(21 yxyxF 0cos3in10cossini2 zyx yxxFi3),(利用（2）式可得 )(),(2xyxzy1.10 将圆球坐标系中的矢量场 用直角坐标系中的坐标分Frr125(,),(,)量表示。解：根据（1）AAxyz rsincoscsinio0得 cos5in0sincoscosini1zy
6、xFi5i5),( zyx又因为 （2）cosinrzyx得 )(5),(221 zyxzyxF),(2rr)(122zyxzyx)(2),(2rFr= )(12xyx )(122zyxzy2y2z)(1.11 计算在圆柱坐标系中两点 和 之间的距离。)5,6/(P4,3/Q解：两点 和 之间的距离为)5,6/(P4,32Q21121 )()(zyxd22)45()3/sin()6/sin(5/cos/cos( 22)(768.0()3.9.31.12 空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A ，B ，求:(a) A+B ； (b) A B； (c) A 和 B 的单位矢量；z45z4(d)
7、 A 和 B 之间的夹角； (e) A 和 B 的大小； (f) A 在 B 上的投影。解：(a) zz95)3()5()23( (b) BAzAz 2174(c) Aa )342(07.1)453(453122 zzBb )(385.)(22(d) A 和 B 之间的夹角011 4.6)7.38(cos)(cos(e) A 和 B 的大小0.22zA385z(f) A 在 B 上的投影=b)453( )342(.1z6.21.13 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点 矢量为 A ，在点),/1(P32矢量为 B ；求:(a)A +B ； (b) AB；(c) A 和 B 之间的夹角。),2(Q
8、z10解：转换到直角坐标系 AAxyz zcosini01yxA231zxB1010(a) A+B zy2(b) AB 9(c) A 和 B 之间的夹角011 7.25)4.9(cos)(cos1.14 计算在圆球坐标系中两点 和 之间的距离及从 P 点到 Q)3/,P),2/(Q点的距离矢量。解：根据圆球坐标与直角坐标的关系 cosinrzyx07.10cs1268i 53.1rzyx2cosin)(i2rzyx 2111 )()()( zyxd87.0.7.653.221.15 空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A ，B ，53r42r求:(a) A+B ； (b) AB； (c)
9、 A 和 B 的单位矢量； (d) A 和 B 之间的夹角； (e) A 和 B 的 大小； (f) A 在 B 上的投影。解：(a) A+B 95r(b) AB 2(c) A 和 B 的单位矢量；)53(1ra )42(1rb(d) A 和 B 之间的夹角 011 75.2).(cos)(cos(e) A 和 B 的 大小9.522Ar84r(f) A 在 B 上的投影b)53(r 45.)2(1r1.16 求 的梯度。zyxf2),解： zyxxzyfzyxf 23 23321.17 求标量场 在点(1,1,1)沿 方向的变化率。fx(,)2l解： zyzfyxf 4)2(12llfl42
10、yxz所以 3)1,(lf1.18 由 ，利用圆柱坐标和直角坐标的关系，推导xyz。1z解：在直角坐标系中（1）xyz（2）yzcosin（3）xarctgyz2（4）osinx（5）icy由（2） 、 （3）式可得（6）osx（7）sin1)(122yxyx（8）sin（9）cos1)(122yxy由（1）（5）式得 zyxzyx )cossin()sinco(而 xxsi1csyycoin再由（6）（9）式可得 )sico()sin1cs()in()coin(z= 22si1cos sinco1sin22coiniico z1z1.19 求 的梯度。cos),(zf解： zff 1sinco
