1、第 1 页 共 20 页第 12 章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场 的梯度为 ，则zxyuA= ， 0 。A 2. 已知矢量场 ，则在 M（1，1，1）xzeyezyeAx 4)(2处 9 。3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为 ） ，则A必须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。4. 写出线性和各项同性介质中场量 、 、 、 、 所满足的方DEBHJ程（结构方程）： 。5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。6. 设理想导体的表面 A 的电场强度为 、磁场强度为 ，则EB（a） 、 皆与 A 垂直。EB（b） 与 A 垂直， 与
2、A 平行。（c） 与 A 平行， 与 A 垂直。（d） 、 皆与 A 平行。 答案：bEB7. 设自由真空区域电场强度 ，其中 、 、(V/m)sin(0ztEey 0E为常数。则空间位移电流密度 （A/m 2）为： dJ（a） （b）)cos(0ztEey )cos(0ztey（c） （d） 答案： Ec8. 已知无限大空间的相对介电常数为 ，电场强度4r)(zyezyxAAJHBED, tqSdJt第 2 页 共 20 页，其中 、 为常数。则 处电荷体密度(V/m) 2cos0dxeEx0ddx为：（a） （b） （c） （d） 答d04d040202案：d9. 已知半径为 R0球面内外
3、为真空，电场强度分布为 )R( )sinco2( 030 rerBEr求（1）常数 B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。Sol. (1) 球面上由边界条件 得：ttE21 sinsi300RB20R（2）由边界条件 得：snD21cos6)()( 02100 REErns（3）由 得： )R( 0)sin(si1)(1 00200 rrrE即空间电荷只分布在球面上。10. 已知半径为 R0、磁导率为 的球体，其内外磁场强度分布为 )R( )sinco(As03 rereHr第 3 页 共 20 页且球外为真空。求（1）常数 A；（2）球面上的面电流密度 JS 大小 。So
4、l. 球面上（ r=R0）： 为法向分量； 为法向分量 rHH（1）球面上由边界条件 得：nB21rr20130RA（2）球面上由边界条件 得sttJ21in)(|)(0210RrsHJ第 4 页 共 20 页第 3 章 静电场及其边值问题的解法1. 静电场中电位 与电场强度 的关系为 ；在两种E不同的电介质（介电常数分别为 和 ）的分界面上，电位满足12的边界条件为 。2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为 ，则静电场： E0 ， = 。E3. 电位 和电场强度 满足的泊松方程分别为 E、 。4. 介电常数为 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。5. 对于两种不同电介质的分界面，电
5、场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。6. 如图， 、 分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，1E2 ， 30 ，则 60 ， 。|21E12E17. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度 与电位沿其s法向的方向导数 的关系为 。n8. 如图，两块位于 x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为 0、 U0，其内部充满体密度n2121平22E1mw3s 0102Uoxd第 5 页 共 20 页 e x d ) 的电荷（设内部介电常数为 ） 。（1）利用直接积分法计算 0 a 各点的电位分布。第 6 页 共 20 页Sol. 空间电荷对导体表面上部空间
6、场分布的影响等效于：无限大接地导体平面 + 接地导体球边界条件： 0平平使 ，引入镜像电荷：0平,qdz使 ，引入镜像电荷：平022011 |,|, qdazqdazz 轴上 z a 各点的电位：dzqzqdz210|41aq| 423011. 已知接地导体球半径为 R0 ，在 x 轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+ q、- q ，位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3） x 轴上 x2R0各点的电场强度。Sol. (1) 引入两个镜像电荷：zdx0qloazq21oqqx0R001x2第 7 页 共 20 页，201qRq201Rx，)(0
7、2 002（2） （略）Rqqzyx2104),(， 2zyR 220)/(zyx，02)/(x（3） x 轴上 x2R0各点的电场强度： 20202020 )()/()/()( RxqxqxqqeEx12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷 q，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。 Sol. （1） ，01q) ,(a，2 ,，03)(（2） 32104),( RqRqzyx （略）其中： ，220)(zayx 221)(zyax，2R3Ryx0q45,Pa12q3)0 ,() ,(a),(第 8 页 共 20 页12H第 4 章
8、 恒定电场与恒定磁场1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中， 0 ；J0 。D3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度 和电流密度 的EJ边界条件为： 、 。4. 在电导率为 的导电媒质中，功率损耗密度 pc与电场强度大小 E 的关系为 。5. 恒定磁场的矢量磁位 与磁感应强度 的关系为 ；AB所满足的泊松方程为 。A6. 如图， 、 分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，1H2， ，230则 、 分别为： 答案： B12B（A） 、 。 （B）660。7. 对线性和各项同性磁介质（磁
9、导率设为 ） ，恒定磁场（磁场强度大小为 H ）的磁能密度 ， V 空间磁mw能 Wm = 。8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：， C 为常数，且 满足库仑规范。求（1）xyzeyxeA22 Att21 nJ21 2EcAJ221dHV21第 9 页 共 20 页常数 C ；（2）电流密度 ；（3）磁感应强度 。JB（直角坐标系中： )()()( yaxeazezayea xzxyx ）Sol. (1) 库仑规范： 0A402CxyxyzAyx(2) 由 ， 得：J2 xyzeeyx2xezAJ yx21122(3) AB)(4yexzezy9. (P.136. 习题 4.2) 在平板电
10、容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（ 和 ） ，其厚度分别为 和 。若在两极板上1,2, 1d2加上恒定的电压 。试求板间的电位 、电场强度 、电流密度0UE以及各分界面上的自由电荷密度。JSol. 用静电比拟法计算。用电介质（ 和 ）替代导电媒质，静电场场强分别设为 E1、 E221210DUdE)( 0 212120221 dxdUexx电位移： 2120121Ex )( )()( )( 20212121 10 dxUdxdEUx第 10 页 共 20 页静电比拟： ，则导电媒质中的恒定平平平 DJE 电场： ， )( )(0 202121 102 dxUdx)( 0 )( 221202dxdUexE1xx2120Jx2120110 dUxnxs 212022)(21dxs21201121 )(111 dUxnddxdxs 可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号 。210dxsxs只有理想电容器才有电容定义。
