1、南京工业大学 第 1 页 共 3 页 南京工业大学 线 性 代 数 试题（ A）卷 （闭） 2008-2009 学年第 二 学期 使用班级 计软 0801 3 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 （ 符号说明： E 表示单位矩阵， R 表示矩阵的秩， | |表示行列式， T 表示矩阵的转置， trace(A)表示矩阵 A 的足迹。 ） 一、 填空题（每题 3 分，共 15 分） 1、 已知 2111320 zyx ，则111542653 zyx 。 2、 u 为 n维非零单位列向量，则矩阵 Tuu 的 n个特征值分别为 。 3、 设 矩阵100021012A ，
2、 矩阵 B 满足 EBAABA * 2 ，其中 *A 为 A 的伴随矩阵，则B 。 4、 方程组313232121axxaxxaxx有解的充要条件为 。 5、 已知 022 EAA ，则 1EA 。 二、 选择题（每题 3 分，共 15 分） 1、设 A 、 B 、 C 是三个同阶方阵、 E 为同阶单位矩阵，且 EABC 。下列等式： EACB ；EBAC ； EBCA ； ECAB ； ECBA 。其中正确的个数有（ ） （ A） 2 个 （ B） 1 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 2、设 n , 21 线性无关， 211 ， 322 ， nn 11n ， 1nn n ， 则关于向
3、量组 n , 21 的论述正确的是（ ） （ A）一定线性无关 （ B）一定线性相关 （ C）相关与否与 n 有关（ D）以上均不正确 南京工业大学 第 2 页 共 3 页 3、设三阶方阵 A 的三个特征值分别为 1， 2， 4，又矩阵 EAAB 32 ，则如下正确的是（ ） （ A）矩阵 B 不可逆 （ B）矩阵 B 三个特征值为 -1， 3， 17 （ C）矩阵 B 不可以对角化 （ D） 18)( Btrace 4、设 nm 阶矩阵 rAR )( ，则如下结论正确的是（ ） （ A） )( TT ARAAR （ B） TT ARAAR （ C） ARAAR T （ D） ARAAR T
4、5 、如 21321 , 都是四维列向量，且 4 阶行列式 m1321 ，n3221 ，则 4 阶行列式 21123 等于（ ） （ A） nm （ B） nm （ C） nm （ D） mn 三、（ 10 分）计算 n 阶行列式mxxxxmxxxxmxnnn212121四、 (12 分 ) 设 四阶矩阵7600054000320001A ， 方阵 B 满足矩阵方程 BEAAB ，试给出 1EB 。 南京工业大学 第 3 页 共 3 页 五、 （ 12 分） 求 向量组 1,0,1,11 ， 3,1,0,22 ， 1,1,2,03 ， 1,1,1,04 ， 9,3,1,65 的秩和它的 一个极
5、大 线性 无关组 ， 并 把 其余向量 表示为所求的 极大 线性 无关组 的线性组合 。 六、（ 13 分） 当 a ， b 为何值时，线性 非齐次 方程组 12323144320432143243214321axxxxbxxaxxxxxxxxx有唯一解，无解，有无穷多组解？ 在有解时，求出其解。 七、（ 16 分）已知二次型 21232221321 22, xxxxxxxxf ，试回答下列问题 1）写出此二次型的矩阵 A； 2）利用正交变换 X=QY 该二次型 化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型； 3）判断该二次型是何种二次型。 八、 （ 7 分） 设 矩阵 A， B 均 为 实正交矩阵且 1A ， 1B ，试证明： 0BA .
