1、江苏省海门市 2014 届高三第一次诊断考试数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1设集合 2|log,AxxZ，则集合 A共有 个子集2已知角 的终边过点 (43)P，则 sin2cos的值是 3已知 sin()125，则 7c1的值等于 4已知集合 2|lg()Axyx， |,0xBy，则 AB .5已知函数 ()f是定义在 ,0(,)上的偶函数，在 (,)上单调递减，且 1()02f，(3)0f，则函数 ()fx的零点个数为 个.6给出如下命题：若“ p且 q”为假命题，则 ,pq均为假命题；命题 “若 ab，则 21ab
2、”的否命题为“若 ,21ab则 ”；命题 “ 00,xR”的否定是“ ,20xR”； “ 5a” 是 “ 21,a恒成立”的充要条件.其中所有正确的命题的序号是 . 7已知 sin3，则 cos(2)的值等于 .8已知 2()fx， 1gxk，则“ 2k”是“ ()fxg在 R 上恒成立”的 条件.（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一）9已知函数 ()lnafx， (0,4x，若 ()yfx图像上任意一点的切线的斜率 12k恒成立，则实数 的取值范围是 .10设函数 l()fx在区间 (,2)a上单调递增，则 a的取值范围为 .11已知函数 3sin,fx，若 (31)
3、(2)ff，则 a的取值范围为 . 12已知函数210()log(),f若 ,()()xRfaxR，则 的最大值为 .13已知 ,abcR， 36abc， (,1)anZ，则 n .14已知 0a,函数 ()2xaf70,410在 区 间 上 的 最 大 值 为 ，则 a的值为 .二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 14 分）已知 ,(0,)2，且 7sin(2)5sin（1）求证： ta6ta；（2）若 tn3t，求 的值16 （本小题满分 14 分）设 0a，函数 ()sincosico,02
4、fxaxx的最大值为 g(a)（1）设 sinc,t0,2，求 t的取值范围，并把 ()fx表示为 t的函数 ()mt；（2）求 g(a)17 （本小题满分 14 分）设函数 ()fx和 g是定义在集合 D上的函数，若 ,()()xDfgfx，则称函数 ()f和 gx在集合 D上具有性质 ()P.（1）若函数 ()2fx和 1cos2gx在集合 D上具有性质 ()P，求集合 D；（2）若函数 fm和 ()在集合 上具有性质 ，求 m的取值范围18 （本小题满分 16 分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 m个
5、单位的药剂后，经过 x天该药剂在水中释放的浓度 y（毫克/升）满足 yfx，其中 2log(4),06fxx，当药剂在水中释放的浓度不低于 6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于 18（毫克 /升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为 4m，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为 ，为了使在 7 天（从投放药剂算起包括第 7 天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m的取值范围.19 （本小题满分 16 分）设 aR，函数 321()(1)()fxaxax（1）若函数 0g为奇函数，求 的值；（2）若函数
6、 ()fx在 2处取得极小值，求 a的值；（3）若 1a，试求 ,1时，函数 ()fx的最大值20 （本小题满分 16 分）已知函数 2()3),2,xfxea，其中 e是自然对数的底数（1）若 a，求函数 (yf的单调区间；（2）求证： 21()fe；（3）对于定义域为 D 的函数 ()ygx，如果存在区间 ,mnD，使得 ,xmn时，()ygx的值域是 ,mn，则称 ,n是该函数 ()ygx的“保值区间”设 ()(2),(1)xhxfe，问函数 h是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间” ； 若不存在，请说明理由2014 届高三第一次诊断考试数学 II（附加题）请在答题卡指定区
7、域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21 （本小题满分 10 分）已知函数 ()lg2)l()fxx（1）求函数 的定义域；（2）记函数 ()(103fx，求函数 ()gx的值域22 （本小题满分 10 分）设 为锐角，若 3cos()45，求 cos(2)6的值23 （本小题满分 10 分）已知函数 2()1fxax， 2(log)ax（1）求函数 g(x)的解析式，并写出当 a1 时，不等式 g(x)8 的解集；（2）若 f(x)，g(x)同时满足下列两个条件： ,4t，使 23)(4ftft； (,()8xagx求实数 a 的取值范围24 （本小题满分 10 分）已知函数
8、()lnfxa， ()e3axg，其中 aR（1）求 f的极值；（2）若存在区间 I，使 ()fx和 g在区间 I上具有相同的单调性，求 a的取值范围海门市 2014 届高三第一次调研考试数学 I 参考答案与评分标准1. 8；2. 1；3. 25；4. (1,)；5. 2；6. ；7. 79；8. 充分不必要；9. 4,)；10. 0,e；11. ,04；12. ；13. 4；14. 1215. （1）证明： 7sin(2)5sin，ii()，7sin()cosinsi()cos()in5，6() 4分,(0,)(0,)2，若 cos，则由 sin0与 (0,)矛盾，()0， 5分两边同除以
9、cos()s得： tan()6tan； 7分（2）解：由（1）得 tan()6tan， ttta1an， 10分tan3t， tant3， 24ta3tn1(0,)2， t1，从而 4 14分16. 解：（1） sincosin(),tx30,24，sin()1， 2t，即 t的取值范围为 1,2， 3 分（另解： 0,2x， sinco1sin2txx，由 0,得 sin21x，1t）sincotx，21sincotx， 5 分221() ,tmatat ， 0a； 7 分（2）由二次函数的图象与性质得：当 2a，即 2(1)时， 1()2)gma； 10分当 1，即 0()a时， ()1
10、13分12,(1),()0.ag14 分17. 解：（1） ()fx， ()cos2x，由 fgf得： 11()cos2xx， 2 分变形得： 24cos30x，1或 （啥去） ， 5 分2,3xkZ，2,Dk； 7 分（2） ()xfm， ()gx，由 ff得： 2()2xm， 9 分变形得： 42x，D，且 x，24m， 1，即 m的取值范围为 (,1 14 分（其它解法参照上述评分标准给分）18. 解：（1）由题设：投放的药剂质量为 4，自来水达到有效净化 4()6fx 2 分3220log(4)x或4632x4 分x或 x，即： 06x，亦即：如果投放的药剂质量为 m，自来水达到有效净
11、化一共可持续 6 天； 8 分（2）由题设： (0,76()18xfx， 0， 10 分2log4),fx，2(0,6l()18mx，且 6(4,7182mxx，12 分学科王2318且 5， 14 分6m， 6，亦即：投放的药剂质量 的取值范围为 5,6. 16 分19. 解：（1） 22()(1)()fxaxa， 1 分1,0gx， ()0fx为奇函数，,g，即 210,a12a； 4 分（2） 2()()()fxaxa1 5 分x(,)(,1)(,)a()f ()fx在 1a处取得极小值，在 xa处取得极大值， 7 分由题设 2， ； 8 分（另解：由 ()0f得： 230， 1或 2，
12、再验证得 1a）（3）由（2）知： 1a时， ()fx在 ,1上是增函数， 2max()()6ff；10分 0时， ()fx在 0,上是减函数， max()(0)ff； 11分 1a时， ()fx在 ,a上是增函数， ()fx在 ,1上是减函数，32max1()f； 13分 10时， ()fx在 0,1a上是减函数， ()fx在 1,a上是增函数，26() )(f，学科王61ia时， 10f， 2max1()()6ff；()0i时， ()f， a0ff； 15分综上：2max3216, 16()0, 01,1.af a值16分20. 解：（1） 2()(1),2,xxfxeea， ,0学科王(0,)(1,)()fx
