1、第 1 页 共 3 页第八讲-函数周期性探密1 基本问题1.进一步理解函数周期性的本质，灵活运用其解决问题；2.引导学生探究函数图象的对称性与周期性的关联，并综合运用函数性质解决问题.2 学习目标1.运用函数的周期性求特定函数值或特定区间上函数的解析式；2.探究有特殊轴（多轴）对称或中心（多中心）对称图象的函数的周期性，并综合运用函数性质解决问题。3 课程内容例 1 解决下列问题(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f (x)，当3x1 时，f(x) (x2) 2；当1x3 时，f(x )x.则 f(1) f(2)f(3)f(2 015)等于 _(2)已知 f(x)是定义在 R
2、 上的偶函数，并且 f(x2) ，当 2x3 时，f(x) x，则1fxf(105.5)_.简析；（1）原式= =336 )6()5(4)3(2)(36 ffff 013（2 ） 可知 ，故4x 5.2)(5.1.0f归纳：发现周期函数的一般线索：（1）若函数满足 ，则 ，所以 2a 是函数)()(faf)()2(xfafxf的一个周期（2）若函数满足 或 ，则都可以得到)(1(fxf)(1)faf，进而可知 2a 是函数的一个周期.)(axf例 2 已知函数 f(x)满足：f(1) ，4f(x)f(y) f (xy)f(xy)(x ，yR)，则 f(2 015)14_.简析：由已知，可得 ，
3、而 f(1)1()()1(fff14故 ,即 -（1）)()xfxf x再令 ，可得 ，故 .-（2）0,1y)()0(4ff )0f由（1）（2）渐次得到 41)7(,)6(,45(,4,213,)2( fff发现 ，故 .)6(xf)5(f第 2 页 共 3 页另法：由 和)1()()xffxf )(2()(xfff可得 ，即知 ，故2(3x6所以函数 是周期函数，其周期等于 6.)xf评注：对于函数的周期性，有时 需要通过计算函数值， 观察 变化规律得到.例 3 设 f(x)是(，)上的奇函数，f (x2)f (x)，当 0x1 时，f(x) x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时
4、，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积解 (1)由 f(x2)f( x)得，f(x 4)f( x2)2 f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，f() f(14) f(4)f(4)(4) 4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2) f(x)，得：f( x1)2f(x 1)f( x1)，即 f(1x) f(1x )故知函数 yf(x )的图象关于直线 x1 对称又当 0x1 时，f( x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对 称， 则 f(x)的图象如图所示当4x4 时，f( x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4S OAB 4.例 4 设函数 f(
5、x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1) ，已知当x0,1时，f(x)2 x，则有2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2) 上是减函数，在(2,3) 上是增函数；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_答案 第 3 页 共 3 页解析 在 f(x 1)f(x 1)中，令 x1t，则有 f(t2) f( t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确；当 x0,1时，f( x)2 x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；在区间1,1上，f(x)的最大值为 f(1)f(1) 2，f(x)的最小值为 f(0)1，故 错误总结规律：（1）若函数 的 图象关于直线 和直线 对称，则函数)(xaxbx)(a为 周期函数，周期 .（由 可得）.)(f bT22)2(ff （2（若函数 的图象关于点 和点 对称，则函数 为周期函数，周)(f)0,(a), )(xf期 .（由 可得）.abT(xbfx（3（若函数 的图象关于直线 和点 对称， 则函数 为周期函数，)(xf),a)(f周期 .4
