1、1开一数学组教研材料 （裂项相消法求和之再研究 ） 张明刚一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项基本类型：1.形如 型。如 ；)1()(1knkn1nn 1 1n 1n 12.形如 an 型；12n 12n 1 )2(3. )1()(nn4. )2()(21)( an5. nnnnnn S2)1(,)1()()( 1 则6.形如 an 型n 1n2n 227.形如 an 型；4n4n 14n 1 1 13 14nn8. .n 1n（n 1）2n 2n （n 1）n（n 1）2n 1（n 1）2n 1 1n2n9.形如 an 型；kk 1)(na10. bab111. 12. 13.!nn
2、 mnmnC1 21nSan14. )ta(ta15.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 可以tant)tan(2另一方面，利用 ，得kkktan)1t(a1tan,t)(t)1tan(k16 利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质 ，有些试题则可以构造这种形式进行裂项.NMalogllog17 利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质 ，组合数有这样的性质 ，都可以作为裂项的依据.!)1(!nn 1mnmnC例 7 求和： _21分析 直接利用 可得结果是 .!)(! 1)!(18.求和： .有 ，从而 .223nnCS 31kkC31312nnnCS裂项
3、相消法求和之再研究一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项一、多项式数列求和。（1）用裂项相消法求等差数列前 n 项和。即形如 的数列求前 n 项和nab此类型可设 左边化简对应系数相等求出 A,B。22()(1)()naABB12322()049342)()()nS An 则 例 1：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na1nanS2222222213()()()21=0()13(1)nnnABBaSann 解 ： 令 则 有 （2）用裂项相消法求多项式数列前 n 项和。即形如 的数列求110mnabb前 n 项和。此类型可 1 1111()()()()mn mmacccc
4、n 设31210mbnbn 上边化简对应系数相等得到一个含有 m 元一次方程组。说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。解出 。再裂项相消法用易知12,mc 11mnSccn例 2：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na3aS43243232223 ()()()(1)(61)(124341163022ABCDABCDnCnAABBCD解 ： 设 （ ） 40二、43243222222222111()()()()13134(1)()(1)nnannnnnS （ ） 二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。（1）用裂项相消法求等比数列前 n 项和。
5、即形如 的数列求前 n 项和。这里不妨设 。 （naqq时为常数列，前 n 项和显然为 ）qS此类型可设 ，则有 ，从而有 。再用裂1Anaq()nnA,1Aa项相消法求得 nS例 3：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na3nanS解：设 ，则有 ，从而有 ，故 。1Anq2nA32A132na2324311123( )()nnnnSaa （2）用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前 n 项和。即形如 的数列求前abqn 项和。4此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法，其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设 ， （1q时为等差数列，不再赘述。 ）1q可设 ，则有 ，1
6、()()nnnaABqBq 1()()nnnaAqBab从而得到方程组 ，继而解出 A，B。再用裂项相消法求得ab nSAqB例 4：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。n3n n解：设 ，则有 ，1()3()naAB112)3nnaB从而得到方程组 ，解得 。20234A134nn2221 112315()(23)(2)34 4nnnnnSaa （3）用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前 n 项和。即形如 的数列求前 n 项和。1210( )mnnbbq此类型有一个采用 m 次错位相减法的方法求出，但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。同样这里依然不妨设 ，
7、 （ 时为多项式数列，不再赘述。 ）q下面介绍错位相减法的方法：设 。12 121101210( )()()()mnmmnnaBnBqBnBq 先对上式化简成 的形式，其中 01,C 是用120mnnCC01,q来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个 m 元一次方程组，用代入法可以解出再用 用裂项相消法求得 。m 12100( )nnSq例 5：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na2a nS解：设 ，则有2 1()(1)()nABAB21(nnaC从而得到 ，解得 ，所以20AB46212(3)()(1)3nnna2322121231 ()()()() n nnnSaa
8、事实上裂项求和适合用于所有能将 化成 形式的所有数列 ， 与 存在形n()afnna()fna式上相似性，从而利用待定系数法的方式得到 的表达式，最终可以得到 。这里部0S分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前 n 项和公式。例如调和数列 也不能用此法，事实上调和数列 是不可求前 n 项和的数列。1n 1四、结论。5从上面的论断不难得出裂项相消法，适合所有可求前 n 项和的数列。不愧为数列求前 n 项和的万能方法。不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法，不易找出它的裂项方法，尤其是与指数函数，对数函数，三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数。对于前
9、两个大点得出的结论，我们当然也可以使用待定系数法来求 ，只是不要忘记它们都是用裂项相消法证明出来的结论。保留原来的参nS数得到结论也可以使用，从而直接得出待定参数的值，但对记性的要求很高，这里就不再啰嗦。例 6：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na34(1)2nanS解：设 则(1)()2nAB()()212(1)nABABAn所以 ， ，解得 ，所以234(1)(1)n3433()()na123214732134()()=()()nn nSa 例 7：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na213nnanS解： 211 13()2nnnnnn11223112nn
10、nnnS 例 8：已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 ， 。na2sionaS89解： ，21sicoonsi1c2si(1)sin(21)oooo i()in()()sn2sonoa1i(1)()2noS89sin(289)()4.o6作业：1、请用裂项相消法求下列各数列的和.（1）已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na4nanS（2）已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。2()3 n（3）已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na(1)nna nS（4）已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。nsionn（5）已知数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和 。na2(1)nanS
