1、金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972必修五知识点整理第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.sinisinabcABC正弦定理推论： （ 为三角形外接圆的半径）2siinabcRABC 2si,2,saRsinsisin,aAbBaAcC :n:isbciiiiicB2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边 和三个内角 .在三角形中，已知三),(cba),(A角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。3、正弦
2、定理确定三角形解的情况图 形 关 系 式 解 的 个 数 sinabA 一 解sinba两 解为 锐 角AsiA无 解ba一 解A为钝角或直角无 解金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师130488479724、任意三角形面积公式为：211sinsisin24()()()isni2ABC abcSbcacBCRrppABC1.1.2 余弦定理5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即， ， .22cosabA22cosba22cosab余弦定理推论： ， ，B2sCa6、不常用的三角函数值15 75 105 165sin42642642
3、6426cotan323232321.2 应用举例（浏览即可）1、方位角：如图 1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。2、方向角：如图 2，从指定线到目标方向线所成的小于 90的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）3、仰角和俯角：如图 3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。（1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角4、视角：如图 4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。5、铅直平行：与海平面垂直的平面。6、坡角与坡比：如图 5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与
4、水平宽度的比叫坡比 . hil金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972（5）坡角与坡比第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，排在第 位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成 ， ， ， ，简记为 .n1a3ana2、数列的通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，n那么这个公式叫做这个数列的通项公式。3、数列的递推公式：如
5、果已知数列的第 1 项（或前几项），且从第 2 项（或某一项）开始的任一项 与它的前一项 （或前几项）（ ）间的关系可以用一个公式表示，nana2n那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为 （ ）1na4、数列与函数：数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集 ）为*N,234,n定义域的函数 ，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数nfa值。通项公式可以看成函数的解析式。5、数列的单调性：若数列 满足：对一切正整数 ，都有 （或 ），nn1nna1na则称数列 为递增数列（或递减数列）。na判断方法：转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；作差比较法，即作差比较 与
6、的大小；1na2.2 等差数列1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 表示。定义式为 （ ， ）或 （ ）ddan1n*Ndan1*N2、等差中项：由三个数 ， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，Ab叫做 与 的等差中项。Aab是 ， 的等差中项 .2baA3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项 ， ， （ ），则1n1n,2*N， ， 成等差数列 （ ） 是等差数列。1na1n n na金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师130488479724、等
7、差数列的通项公式 ，其中 为首项， 为公差。变形为：1nad1ad.1nad5、通项公式的变形： ，其中 为第 项。变形为 .mn mmna6、等差数列的性质：（1）若 ， ， ， ，且 ，则pq*Nqpn；qpnmaa（相同数量下，项数之和相等，项之和相等）（2）若 ，则 ；2pnma2（3）若 ， ， 成等差数列，则 ， ， 成等差关系；（等距等差）pn（4）若 为等差数列， 也成等差数列（片段等差）na ,232, kKkSS（5）若 成等差数列 （公差为 ，首项为 ）；qpnapq（6）若 成等差数列，则 也成等差数列；nc（7）如果 都是等差数列，则 ， 也是等差数列。abnmnba
8、2.3 等差数列的前 项和1、一般数列 与 的关系为 .nas21nSan2、等差数列前 项和的公式： dan 113、等差数列前 项和公式的函数特征：（ 1）由 ，n ndann 22121令 ， ，则 为等差数列 （ 为常数，其中2dA1aBnnBAS、， ）. 若 ，即 ，则 是关于 的无常数项的二次函数。 若b0Adn，即 ，则 . 0d1Sn（2）若 为等差数列， 也是等差数列，公差为na2d（3）若 ， ，则 （5）若 ，则mSnnmSn nmS0nm金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972（4）若 是均为等差数列，前 项和分别是 与 ，则有nbannAB12m
9、Aba（5）等差数列 中， ， ，则 有最大值， ， ，则 有最小n01adnS01dnS值。 2.4 等比数列1、等比数列：一般地如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示 .定q0义式： ，( , , ).1naq20naq2、等比中项：如果在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做bGabG与 的等比数列。 ， ， 成等比数列 .b 2ab两数同号才有等比中项，且有 2 个互为相反数。3、通项公式： 其中首相为 ，公比为 .1nnaq1aq4、等比数列的性质： （ ， ）.nm
10、*N2.5 等比数列的前 项和1、等比数列的前 项和的公式：n11nnnaqSaq2、等比数列的前 项和的函数特征：当 时， .记q11nn aSq，即 .（帮助判断等比数列）1aAqnnSAq3、等比数列的前 项和的性质： 在等比数列中：（1）当 ， ， ，均不为零时，数列成等差数列。公比为 .k2k32kS qk（2） nmnmnSq（3） 或 （ 、 ）nana*N（4）若 ，则pqmnpqa金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972（5）若 为等差数列，则 为等比数列nanaC（6）若 为正项等比数列，则 是等差数列logn（7）若 、 均为等比数列，则nb等仍是等比
11、数列。公比分别为：0knnnnaaab、 、 、 、.121kqq、 、 、 、 、（8）等比数列 的增减性：当 ，或 时， 为递增数列；当na10aq1qna或 时， 为递增减数列。10aq1n4、由递推公式求数列通向法：（具体步骤参考金字塔教材）（1）累加法： 变形：1naf1naf（2）累乘法： 变形：1nfnf（3）取倒数法： 1nnpaq（4）构建新数列法： （其中 ， 均为常数， ）1nnpq(1)0pq设 为等比数列。1nakpak金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972第三章 不等式3.1 不等式关系与不等式1、不等式定义：用不等号（ 、 、 、 、 ）表示
12、不等关系的式子叫不等式，记作， 等。用“ ”或“ ”连接的不等式叫严格不等式，用不“fxgfxg”或“ ”连接的不等式叫非严格不等式。2、实数的基本性质； ； .0ba0ba0ba实数的其他性质； ；, ,0ab3、不等式的基本性质（1）对称性： （2）传递性：ab cba,（3）可加性： 推论 1： （移向法则）cc推论 2： （同向不等式的相加法则）ddca（4）可乘性： ；0bc0abc（5）同向相加： ；异向可减：addabdbcd（6）同向可乘： ；异项可除：0bacbc0c（7）乘方法则： （ ， ）anN1n（8）可开方性法则： （ ， ）0nbab2（9）倒数法则： 1a3.2
13、 一元二次不等式及其解法金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师130488479721、一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，2称为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。2、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系 24bac00020x的图像a20xbc的根a两个不相等的实数根 12x两个相等的实数根 12x没有实数根2xc的解集012或 baR2axbc的解集12x3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式
14、（组）与平面区域1、平面区域：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 表示直线0AxByC某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括0AxByC边界。不等式 表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。xy2、平面区域的判定：一般地，当 时，表示 的上方区域；ykxbykxb当 时，表示 的下方区域。3.3.2 简单的线性规划问题3、线性规划有关概念：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称附：韦达定理在函数 ，则 ， .20axbca12bxa12cx金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972线性规划问题。若约束条件是关于变量的一次不等
15、式（方程），则成为线性约束条件。要求最大（小）值所涉及的关于变量 ， 的一次解析式叫做线性目标函数。满足线xy性约束条件的解（ ， ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目xy标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。3.4 基本不等式： 2ab1、主要不等式：设 ， ，则 （当且仅当 时取“=”）abRab2、基本不等式：设 ， ，则 （当且仅当 时取“=”）0b即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形： .2a3、应用： （ ， ）2abba2abbR（调几算方）4、基本不等式的应用（1）如果和 是定值 ，那么当且仅当 时，积 有最大值 ；xyS2Sxyxy24S（
16、2）如果积 是定值 ，那么当且仅当 时，和 有最小值 .PPP应注意以下几点：各项或各因式必须为整数；各项或各因式的和（或积）必须为常数；各项或各因式能够取相等的值；多次使用均值不等式时必须同时取等号。以上三个条件简称为“一正，二定，三相等，四同时”金字塔教育金字塔教育 中高考数学汪老师13048847972其他补充内容1、两点间的距离公式：设 ， ，则 .1,Pxy22,xy221211Pxy2、点到直线的距离公式：设 ，直线 的方程为 （ 、 不同0l 0AByCAB时为零），则 到直线 的距离 .l02AxByCd3、两平行线间的距离公式：两平行直线 和 间的距离120xy.12CdAB4、点斜式方程： ，即0ykx00ykx5、斜截式方程： ，其中 为斜率， 为截距。bb6、直线方程的一般形式： （ 、 不同时为零），当 时，方程可0AxByCAB0B化为 ，表示斜率为 ，在 轴上的截距为 的直线。CyxBC7、圆的标准方程： . 其中圆心为 ，半径为 .22aybr,abr
