1、Boost 电路的小信号数学模型的建立（西南交通大学，四川 峨眉 614202）欧阳露瑶摘要 主要介绍了 Boost 电路小信号模型建模的基本过程，确定小信号模型必要的前提，对电感电流和电感电压的关系与电容电流和电容电压的关系用平均变量、分离扰动与线性化的思路进行分析，根据变换器的解析模型建立等效电路模型，从而得出传递函数，为变换器低频动态特性的分析提供方便。关键字 变换器 小信号模型 传递函数0. 引言为了研究含有交流小信号分量的直流直流变换器动态，目前已经提出了多种直流直流变换器的交流小信号分析方法，这些方法可以为变换器建立解析模型或等效电路模型，并分析变换器的低频动态特性等。本文对 Bo
2、ost 电路小信号模型基本建模方法进行介绍，用解析模型建立交流小信号的等效电路模型。1. 小信号分析必须具备的前提条件(1)、低频假设：交流小信号的频率应远小于开关频率 ，即 。gfsfsgf(2)、小纹波假设：变换器的转折频率应远小于开关频率 ，即0ss0(3)、小信号假设：要求电路中各变量的交流分量的幅值必须远远小于相应的直流分量。在以上前提下，我们可以近似认为状态变量的平均值等于瞬时值，从而不会引起较大的误差。用平均值代替瞬时值，还可以消除开关纹波的影响，又可以保留有用的直流分量与低频交流分量的信息。1.1 平均变量用平均值代替瞬时值，将输入变量与状态变量表示为在一个周期内的平均变量，和
3、其他变量建立一个开关周期内统一的平均变量表达式。Boost 变换器基本电路形式如图 1 所示图 1 Boost 变换器基本电路在 boost 电路中, 是输入电压，L gV是滤波电感,1、2 为开关器件，C 是滤波电容,R L 为负载电阻， 是流过电感的电)(ti流， 是流过电容的电流，V 是输出电)(tiC压。该电路有两种工作状态；一种为开关接到 1 的工作状态，如图2 所示图 2 Boost 电路开关 1 状态分析可知； gLVRVtiC)(（1）另一种开关接到 2 的工作状态,如图3 所示图 3 Boost 电路开关 1 状态其中； （2）VgLRViLC根据电压定理作 与时间的函数关)
4、(t系，如图 4 所示图 4 电感电压与时间的函数关系 SgSgSL TDVDTVT0dt)()(即 可得；（3）D1VDMg)(可以画出 Boost 变换器输出特性线性化示意图，如图 5 所示图 5 Boost 变换器输出特性根据电流定理作 与时间的函数)(tiC关系，如图 6 所示图 6 电容电流与时间的函数关系 SLSSC TDRViTRVdtT0i)()(即 LSSD可得；（4）RD1Vgi2L)(通过对理想 Boost 变换器在一个开关周期内两个工作阶段的分析，得到电感电压的分段函数：dVT1VSTDLD0LSL（5）用平均变量代替瞬时变量,化简得VD1VggL（6）又因为dtiLV
5、T10LLS（7） 将上式带入（5）得电感电压平均值的表达式VD1dtiLg（8）同理可得电容电流平均值的分段表达式（9）RVtiD1dtvCL2.2 分离扰动为了将上式非线性问题线性化，找到变换器的静态工作点，对上面式子分离扰动，表示为直流分量和小信号分量之和，直流分量描述变换器的稳态解，交流小信号分量描述变换器在静态工作点处的动态性能。 )(_tvVgg)(_iIt_vV（10）中含有同频交流分量，所以)(td)(tdD将（10）式代入（8）式和（9）式，等式左右交流项相等得；根据电感工作特性确定的交流小信号的状态方程： )()()(tvdVtvDdtiLg （11） 根据电感工作特性确定
6、的交流小信号的状态方程 )()()( tvdIRtviDdtvC （12）2.3 线性化由上式可以看出还存在非线性项，对上式进一步线性化因为 )()()(tdVTvDtvtdg将上式中二阶微分项 的从等式中略去，不会有太大误差，可得)()(tvdVtvDdiLg（13）)()(tdIRvtiDdvC（14）3. 小信号等效电路的建立可以根据式（13）建立一个单回路电路，该回路中有以下四个原件，如图 7 所示图 7 电感回路的小信号等效电路对应 应包含电感 L，且回路电dtiL流即是电感电流 ；对应 应包含)(tvD一个受控电压源，该受控电压源受输出电压 的控制，系数为 ；对应 应包)(tv)(
7、g含一个独立电压源，其参数即为 ；对tv应 应再设一个独立电压源， 不dV dV受电路中其他变量的影响，只能用独立电压源表示。其中，直流量 V 是确定量，为控制量，由外界决定。 可以根据式（14）建立一个含有一对节点的电路，该回路中有以下四个原件，如图 8 所示；图 8 电容电路的小信号等效电路对应 ，应设置一条包含电容 CdtvC)(的支路，该电容端电压就是该节点电压 )(v对应 ，应设置一条包含受控电流源tiD的支路；对应 ，应设置一条包)(Rv)(含电阻 R 的支路，由于节点间的电压为，该电路电流为 ；对应 ，应)(tvRtv)(dI设置一条包含独立电流源 的支路。4. 小信号等效电路的
8、分析将图 7、图 8 所示的两个电路结合起来，可得到 Boost 变换器的交流小信号等效电路模型,从而得到 Boost 变换器的交流小信号 s 域等效电路模型，如图 9 所示图 9 理想 Boost 电路 CCM 模式下交流小信号s 域等效电路由图 9 可以得到；输出电压 对输入电压 的传递)(tv)(tvg函数 RsC1DL0sdvG2g /)(22DLCsR1D输出电压 对控制变量 的传递函数)(tv)(d222ggvd DLCsR1DV0sG )(开环输入阻抗 RsL1D0sdivZ2/)(CR1LD222开环输出阻抗 2222goutout DLCsR1DLRs1DL0svdsivZ /)(,)( RsL1D0svdisZ2gout /)(,)(222DLCsR1DL5. 结论本文提出一种 Boost 电路小信号模型建模的基本过程，对电感电流和电感电压的关系与电容电流和电容电压的关系用平均变量、分离扰动与线性化的思路进行分析，得到最后函数关系，方便变换器低频动态特性的分析。 参 考 文 献1 李宏、王崇武，现代电力电子技术基础,北京：机械工业出版社，2008.12;2 张卫平，开关变换器的建模与控制.北京：中国电力出版社，2005；作者简介：欧阳露瑶 ，现就读西南交通大学峨眉校区，专业方向：机械制造工艺及设备.联系方式：15281932342
