1、1等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“三线合一”例 1. 已知，如图 1，AD 是 的角平分线，DE、DF 分别是 和 的ABCABDC高。求证：AD 垂直平分 EF A 1 2 E F B D C 图 1 分析：从本题的条件和图形特征看，欲证 AD 垂直平分 EF，因为有 ，所以12只要证 为等腰三角形即可AEF证明： DAC，12，Rtt又AD 垂直平分 EF例 2. 如图 2， 中，ABAC，AD 为 BC 边上的高，AD 的中点为 M，CM 的延ABC长线交 AB
2、于点 K，求证： K3 A K M E B D C 图 2 分析：可考虑作 DE/CK 交 AB 于 E，因为 M 是 AD 的中点，所以 K 是 AE 的中点，只要证 E 是 BK 的中点，问题可得到解决。由于有 ， ，所以就想到用ABD“三线合一”。2证明：过点 D 作 DE/CK 交 BK 于点 EABC，K，MA，KE3二. 先连线，再用“三线合一”例 3. 如图 3，在 中， ， ，D 是 BC 的中点，P 为 BC 上任ABC90ABC一点，作 ， ，垂足分别为 E、FPF求证：（1）DEDF；（2） DA E F B D P C 图 3 分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全
3、等三角形。观察 DE 为 或BDE的一边，DF 为 或 的边，但它们都没有全等的可能。由于 D 为等腰PDEFPC直角三角形的底边 BC 上的中点，于是我们想到连结 AD 一试，这时容易发现或ACBA问题得证。（2）欲证 ，只要证 ，即可DEF90但由（1）已证出 又 ，故问题解决DF90证明：连结 AD。 D 是 BC 的中点，BACAC12DA 平分 ， B45B45ACPFEA， ，四边形 PEAF 是矩形EB45又 AEF，又 DCADC，EF（2） 3ADECF又 90即 三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例 4. 如图 4，已知四边形 ABCD 中， ，M、N 分别为ACBD
4、90AB、CD 的中点，求证： MNCDC D A M B 图 4 N 分析：由于 MN 与 CD 同在 中，又 N 为 CD 的中点，于是就想到证 为CDMCD等腰三角形，由于 MD、MC 为 、 斜边 AB 上的中线，因此RtBtA，所以，问题容易解决。MDCB12证明：连结 DM、CM，M 是 AB 的中点A90是等腰三角形C又 N 是 CD 的中点， NCD例 5. 如图 5， 中，BC、CF 分别平分 和 ， 于 E，ABABCAB于 F，求证：EF/BCAA F E 1 B C 图 5 M2N分析：由 BE 平分 、 容易想到：延长 AE 交 BC 于 M，可得等腰AC，E 为 A
5、M 的中点；同理可得等腰 ，F 是 AN 的中点，故 EF 为 的BMAAAN中位线，命题就能得证。证明：延长 AE、AF 分别交 BC 于 M、N，12BE为等腰三角形即 ， A同理 FN为 的中位线EMC/，4一、证明角相等【例 1】已知：如图 1，在 中， ， 于 D求证：ABCABDBCA2【分析】作出等腰 的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得 等于其中任一D部分即可【证明】作 的平分线 AE，则有BA ， ，C2121（三线合一） 又AE902C ， DDBDBCA2【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角
6、形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决二、证明线段相等【例 2】（2009汕头）如图 2， 是等边三角形，D 点是 AC 的中点，延长 BCABC到 E，使 ，过点 D 作 ，垂直为 M求证：CEEB【分析】在 中， 如果能证得BM，由“三线合一”就可得出 D【证明】 是等边三角形，D 是的 AC 中A点， ，BD 平分 （三60CBABC线合一） 3又 ， EE又 ， DA3021 30EDBC又 ， （三线合一）DBBMM【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问
7、题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决图 121EDCBA图 2ECAMDB5三、证明直线垂直【例 3】（2009义乌）如图 3，在正ABC 中， 于点 D，以 AD 为一边向BCA右作正ADE 请判断 AC、 DE 的位置关系，并给出证明【分析】在正ABC 中，由“三线合一”知而ADE 也是正三角形，于是有30CAD，这样就得306CAEFAF 是正ADE 的角平分线，再由“三线合一”得【证明】在正ABC 中， ，BCD（三线合一）30CA在正ADE 中， ，AF 是 的306AEFA DAE平分线 （三线合一）E【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可
8、以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线例 1. 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为=_。图 1分析：如图 1，AB=AC，BDAC 于 D，作底边 BC 上的高 AE，E 为垂足，则可知EAC=EAB ，又 ，所以2EACC9090 ， 。 ，EAC例 2. 已知：如图 2，ABC 中，AB=AC ，CE AE 于 E， ，E 在ABC 外，B12求证：ACE=B 。FED CB图 3A6图 2分析：欲证ACE=B，由于 AC=AB，因此只需构造一个与 Rt
9、ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。证明：作 ADBC 于 D，AB=AC， C12又 ，EBBD=CE。在 RtABD 和 RtACE 中，ABAC ，BD=CE，Rt ABD Rt ACE（HL）。ACE=B例 3. 已知：如图 3，等边三角形 ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 延长线一点，CE=CD，DMBC 于 M，求证：M 是 BE 的中点。图 3分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DMBC，因此只需证 DB=DE，即证DBE=E ，根据等边ABC，BD 是中线，可知DBC=30，因此只需证E=30。证明：联结 BD，ABC 是等边三角形，ABC=A
10、CB=60CD=CE，CDE=E=30 BD 是 AC 边上中线，BD 平分ABC ，即DBC=30DBE=E。DB=DE又DMBE，DM 是 BE 边上的中线，即 M 是 BE 的中点。7练习1. 如图 4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC 边的中点 D 处有一个重锤，小明将 BC 边与木条重合，观察此重锤是否通过 A 点，如通过 A 点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？图 42. 已知：如图 5，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，D 是 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 EDFD，求证：S 四边形 CEDF 。12SABC图 5
